Archief - kansberekening

Ik zit al enkele uurtjes te tobben over volgend stuk wiskunde waar ik heel wat van vergeten ben:

Hoeveel mogelijke combinaties zijn er in de onderstaande trekking:

Vandaag zijn de groepen voor het WK voetbal definitief gepubliceerd. Er zijn 4 poules van 8 teams, waarbij telkens 1 team van elke reeds getrokken wordt om samen in een groep te zitten. Op zich is dit nog gemakkelijk, er zijn 8! x 8! x 8! x 8! mogelijke combinaties.

Echter, 2 teams van hetzelfde continent mogen niet samenzitten, behalve voor Europa, waar de grens op maximaal 2 teams ligt (3 mag niet).

Hoe bereken je in deze situatie de kansberekening? Ik dacht dat ik vroeger zoiets kon oplossen, maar niet in hoe ik eraan moet beginnen...

Ter info:
Poule A: 6 Europese, 2 Zuid-Amerikaanse ploegen
Poule B: 4 Europese, 3 Zuid-Amerikaanse en 1 CONCACAF ploeg
Poule C: 3 Europese, 1 CONCACAF, 3 Afrikaanse ploegen en 1 Aziatisch team
Poule D: 1 Europese, 2 Afrikaanse, 1 CONCACAF en 4 Aziatische teams

Er zijn 8*8*8*8 = 4096 unieke groepen mogelijk.

Daarvan moet je dan diegenen aftrekken die ongeldig zijn.
Europese = 4: 6*4*3*1 (ABCD)
Europese = 3: 6*4*3*7 (ABC) + 6*4*3*1 (ACD) + 6*4*5*1 (ABD) + 2*4*3*1 (BCD)
ZAm = 2: 2*3*8*8
CON = 3: 8*1*1*1
CON = 2: 8*7*1*1 (CD) + 8*1*7*1 (BD) + 8*1*1*7 (BC)
Afr = 2: 8*8*3*2 (CD)
Azi = 2: 8*8*1*4 (CD)

Daarbij moeten we terug optellen omdat we deze 2x hebben afgetrokken:
ZAm = 2 + CON = 2: 2*3*1*1
ZAm = 2 + Afr = 2: 2*3*3*2
ZAm = 2 + Asi = 2: 2*3*1*4

Alles optellen levert 1926 ongeldige combinaties, of dus 4096 - 1926 = 2170 geldige combinaties. Ik wou je de mogelijke groepen geven maar 9lives vindt mijn tekst te lang, ;-)

Leuke weetjes:
- ook al zijn er zo veel Europese ploegen, er zijn voor België (of gelijk welke Europese ploeg in poule 1) meer combinaties mogelijk met Aziatische ploegen dan met Europese (dat geldt niet voor Afrikaanse t.o.v. Europese).
- ook al zijn er even veel Afrikaanse als Aziatische ploegen, er zijn voor België meer combinaties mogelijk met Aziatische ploegen dan met Afrikaanse.
- de Europese ploegen in poules 2, 3 en 4 hebben relatief meer combinaties met een andere Europese ploeg dan de Europese ploegen in poule 1 (voor bv. een Europese ploeg in poule 1 zijn 70% van de combinaties met een andere Europese ploeg, terwijl dit voor Servië in poule 4 87% is).

Of dat zich vertaalt naar kansen in de uiteindelijke loting valt te bezien, moeilijk uit te rekenen, heel veel mogelijke maar nog veel meer onmogelijke scenarios.