Archief - 2 integralen

Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
o

ozl

Legacy Member
Bij het instuderen van integralen zit ik nu toch al een tijdje te sukkelen op 2 opgaves en ik kan ze maar niet vinden.

De opgave luidt als volgt:

'Bereken de volgende integralen, die door partiële integratie of door een substitutie worden omgezet in integralen van rationale functies.'

a) integraal van: sinx/(cos²x-4)²

b) integraal van: sinx/(cosx(1+cos²x))

Wat ik al geprobeerd heb:

a) stel cosx = t => dt = -sinx dx

- integraal van: dt/(t²-4)²

Maar dan geraak ik niet verder.

b) stel cox = t => dt = -sinx dx

- integraal van: dt/(t.(1+t²))

En dan zit ik weer vast.

OF

integraal van: tanx . 1/(1+cos²x) . dx

stel t = tanx => dt = 1/cos²x . dx

Maar daar ben ik geloof ik ook niks mee, aangezien je de 1/cos²x niet kan vervangen?


NOTE: integraal van: staat voor dat s - of f-vormig symbool van een integraal en het zou al voldoende zijn moest iemand me op weg kunnen helpen zonder het volledig op te lossen.

Alvast bedankt.
H

H3li0s

Legacy Member
Zo eve op het eerste gezicht zou ik bij A) al direct een verschil van 2 kwadraten zien. A²-B² = (A-B).(A+B).

Probeer dan eens...
d

deathsythe

Legacy Member
ik denk (het is lang geleden dat ik zulke integralen nog opgelost heb :) )
dat je het best bent met in allebei de opgaves direct partiele integratie toe te passen en dan te substitueren...

a) integraal van -1/ (cos²x-4)² d cosx ( en dat dan verder partieel integreren)
b) analoog

denkik hé. tis lang geleden :D
C

Cycloon

Legacy Member
(Wat hier eerst stond over vraag a was idd fout :p).

Met vraag b ben je goed bezig, werk de haakjes uit, en dan dmv partieel breuken moet het verder lukken (denk ik).
M

Matt.

Legacy Member
Fout cyc1oon, afgeleide van cos²x - 4 = -2cosxsinx?

Edit: min vergeten indeed. :)
M

Matt.

Legacy Member
H3li0s zei:
Zo eve op het eerste gezicht zou ik bij A) al direct een verschil van 2 kwadraten zien. A²-B² = (A-B).(A+B).

Probeer dan eens...
Klik om te vergroten...

Da ziet er inderdaad beste optie uit. Eerst cosx = t substitutie. En dan die t²-4 splitsen in (t-2)(t+2) en dan die breuk nog eens splitsen in partieelbreuken.

Heb 't ff uitgewerkt zonder splitsen in PB want 'k ben daar persoonlijk ook geen liefhebber van (:p):

http://img171.imageshack.us/img171/2582/p1020532nk0.jpg

Na vereenvoudigen krijgt ge dan

-(1/32)*ln(cos(x)+2)+1/(16*(cos(x)-2))+(1/32)*ln(cos(x)-2)+1/(16*(cos(x)+2))
maar da kon niet meer op mn blad. :lol:
T

Tom!

Legacy Member
coebeest zei:
a) integraal van: sinx/(cos²x-4)²
Klik om te vergroten...
Je substitutie was goed, dus t = cos(x), dan is -dt = sin(x)dx, dus:

INT sin(x)/(cos²(x)-4)² dx
= - INT 1/(t²-4)² dt
= - INT 1/((t-2)(t+2))² dt

Nu kan je splitsen in partieelbreuken, dat levert:

1/((t-2)(t+2))² = 1/(16(t-2)²) - 1/(32(t-2)) + 1/(16(t+2)²) + 1/(32(t+2))

Elke term is nu eenvoudig apart te integreren, dan terug t = cos(x).

coebeest zei:
b) integraal van: sinx/(cosx(1+cos²x))
Klik om te vergroten...
Inderdaad opnieuw t = cos(x), zodat je krijgt:

INT sin(x)/(cos(x)(1+cos²(x)))
= - INT 1/(t(1+t²)) dt

Opnieuw splitsen in partieelbreuken of volgend trucje:

1/(t(1+t²))
= (1+t²-t²)/(t(1+t²))
= (1+t²)/(t(1+t²)) - t²/(t(1+t²))
= 1/t - t/(1+t²)

Beide termen zijn nu opnieuw eenvoudig te integreren.
D

DieselPower

Legacy Member
Kan iemand mij eigenlijk een goei boek aanraden? Uit de derde graad middelbaar mag, maar als het van het hoger is, zou wel leuker zijn denk ik :)
d

deathsythe

Legacy Member
denk daje het best zijt met één uit de derde graad, int hoger leggen ze da toch niet meer zo uitgebreid uit. (althans toch niet bij mij)

wij hadden vroeger van basis tot limiet, vond ik wel een goede, want je kon veel oefeningen maken, en de oplossingen stonden er vanachter in...
F

Fighting Hobbit

Legacy Member
@deathstyle: Amai, bij ons wordt dat toch wel vrij grondig uitgelegd hoor, integratietheorie, maar de nadruk ligt totaal niet meer op he toplossen van dergelijke integraaltjes. Momenteel vooral met lebegues bezig, dat is ook wel boeiend, maar wellicht nogal moeilijk voor iemand uit het middelbaar...
D

DieselPower

Legacy Member
Fighting hobbit, ik zit al lang niet meer in het middelbaar hoor :)
o

ozl

Legacy Member
Bedankt iedereen! Het is inderdaad naar die partieelbreuken dat ik moest komen. Uiteindelijk nog vrij simpel op te lossen precies, alleen zag ik het niet

Merci!!
d

deathsythe

Legacy Member
Fighting Hobbit zei:
@deathstyle: Amai, bij ons wordt dat toch wel vrij grondig uitgelegd hoor, integratietheorie, maar de nadruk ligt totaal niet meer op he toplossen van dergelijke integraaltjes. Momenteel vooral met lebegues bezig, dat is ook wel boeiend, maar wellicht nogal moeilijk voor iemand uit het middelbaar...
Klik om te vergroten...


dat bedoelde ik eigenlijk :)
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Terug
Bovenaan