Archief - Bewijs 5de Fermat getal niet priem

X

Xcessive-

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #1

Ik moest het bewijs vinden dat het 5de fermat getal niet priem is.
Er wordt bewezen dat 641 een priemfactor is van dit getal.
F5 = 641 . 6700417

Ondertussen heb ik er twee gevonden:
16 = 641 − 5^4
641 − 1 = 5 × 2^7

F5 = 2^32 + 1 = (16)2^28 + 1 = (641 − 5^4)2^28 + 1 = 641m − (5 . 2^7)^4 +
1 = 641m − (641 − 1)^4 + 1 = 641m − 1 + 1 = 641m


---------------------------

641=2^4+5^4=5*2^7+1

GCD(2^{2^5}+1,641)=GCD(2^{4}*2^{28}+1,641)
=GCD(-5^{4}*2^{28}+1,641)=GCD((5*2^{7})^{4}-1,641)
=GCD((-1)^{4}-1,641)=GCD(0,641)=641

Maar bij geen een van twee snap ik de stappen.

W

Warlock

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #2

jaja de uitkomst is hier wel duidelijk 51465454 tot de -778e macht

X

Xcessive-

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #3

Warlock zei:

jaja de uitkomst is hier wel duidelijk 51465454 tot de -778e macht

Klik om te vergroten...

Ik zoek niet m ofzo; voor het tweede bewijs best hier kijken dat is duidelijker:
http://mersennewiki.org/cgi-bin/mimetex.cgi?GCD(2^{2^5}+1,641)=GCD(2^{4}*2^{28}+1,641)=GCD(-5^{4}*2^{28}+1,641)=GCD((5*2^{7})^{4}-1,641)=GCD((-1)^{4}-1,641)=GCD(0,641)=641

k

killgore

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #4

Code:

16 = 641 − 5^4
641 − 1 = 5 × 2^7

F5 = 2^32 + 1 = (16)2^28 + 1 = (641 − 5^4)2^28 + 1 = 641m − (5 . 2^7)^4 +
1 = 641m − (641 − 1)^4 + 1 = 641m − 1 + 1 = 641m

1e 2 zijn gewoon gegevens.

2e lijn gebruikt definitie fermatgetal:

Code:

2^32+1 = 2^4*2^28+1 = 16*2^28+1

Dan gebruik je die definitie van 16 die daar vanboven staat en vul je deze in:

Code:

(641 − 5^4)2^28 = 641*2^28-5^4*2^28=641*2^28-(5*2^7)^4=641*2^28-(641-1)^4

Enkel die laatste stap snap ek even niet .
edit: (641-1)^4 mod 641 = 1 dus, dus krijg je iets als : 641*2^28-641*iets-1+1 = 641*m
het is gewoon verwarrend dat ze m blijven gebruiken als "constante", terwijl deze in die 2 stappen verschillende waardes hebben.

Zo heb je dus bewezen dat het 5e fermatgetal kan gefactoriseerd worden met 641 en dus geen priem is .

X

Xcessive-

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #5

Het laatste van die (mod641) snap ik toch nog niet, en waarom plaatst men m?

k

killgore

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #6

Xcessive- zei:

Het laatste van die (mod641) snap ik toch nog niet, en waarom plaatst men m?

Klik om te vergroten...

ik heb men reply aangepast, laatste stap nu beter uitgelegd .

X

Xcessive-

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #7

Die "iets" kan je toch berekenen? Dus dan weet je toch ook die m?

k

killgore

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #8

baja, ma daar had ik niet veel zin voor zu , is ook niet nodig voor het bewijs.

X

Xcessive-

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #9

Maar omdat ze in dat bewijs met een m rekenen dacht ik dat je dat misschien niet direkt kon berekenen.

k

killgore

Legacy Member

• 15 apr 2007

• #10

Xcessive- zei:

Maar omdat ze in dat bewijs met een m rekenen dacht ik dat je dat misschien niet direkt kon berekenen.

Klik om te vergroten...

Nee, het is gewoon omdat je in die laatste stap (daarvoor is het niet nodig, gewoon 2^28 dus) die berekening niet expliciet moet maken, het is voldoende om te weten dat (641-1)^4 = 641*N+1 met N een geheel getal .

Het is daardoor ook dat ik verward was. Voor die laatste stap (nuja, ik tel de = 641m niet als stap dus) stond die m voor 2^28, na die laatste voor een ander getal, dat is eigenlijk wiskundig niet exact, ze zouden daar moeten overgegaan zijn op een andere constante, ma soit.

[

[BAT] Hydra

Legacy Member

• 16 apr 2007

• #11

m=2^28-641^3+4*641^2-6*641+4=6700417

De clue van het bewijs zit em in het feit dat (641-1)^4 uitgewerkt een aantal termen oplevert. Elk van die termen (behalve de 1 term) is deelbaar door 641. We kunnen bij elke term dus 641 afzonderen en dan krijgen we zoals killgore zegt (641-1)^4 = 641*N+1 met N=(641³)-(4*641²)+(6*641)-(4*1)

F

Fighting Hobbit

Legacy Member

• 16 apr 2007

• #12

Algemene tip is wel om iets meer uitleg bij uw bewijsje te schrijven, het maakt het veel aangenamer voor lezers, je laat zelf zien dat je ook weet vanwaar al die sommetjes enzo komen en het geeft toch wat meer structuur en overzicht.
Enfin ja, s