Archief - integraal

Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
E

Elfanor-

Legacy Member
Vandaag in onze wiskunde les kregen we een oefening op een oneigenlijke integraal.
Het betreft Integraal van -1 tot 1 van 1/x

Via de berekeningen van integralen bekomen we dat het niet gedefinieerd is.
Want +oneindig - (+oneindig) is niet gedefinieerd.

Maar als je naar de grafiek kijkt en je bekijkt de georiënteerde oppevlakten van -1 tot 0 en van 0 tot 1 dan lijkt het toch dat de integraal 0 moet zijn.

Met een trucje kunnen we het algebraisch ook 0 laten bekomen zonder (volgens mij) een wiskundige fout te hebben gemaakt.

We splitsen de integraal op in 2 stukken: de limiet van a gaande naar 0 van links van de integraal van -1 naar a van 1/x plus de limiet van b gaande naar 0 van rechts van de integraal van b tot 1 van 1/x
We bekomen de limiet van a gaande naar 0 van links van ln |a| plus de limiet van b gaande naar 0 van rechts van -ln |b|
Dit kunnen we gelijkstellen aan de limiet van b gaande 0 vanaf rechts van ln|b| - ln|b|
Dit wordt de limiet van b gaande naar 0 van 0. Dit geeft ook 0 als uitkomst.

Volgens mijn leerkracht is deze integraal niet gedefinieerd? Heeft hij gelijk en waar zit mijn fout dan. Door behulp van logisch redeneren is de integraal toch gelijk aan 0?

edit: http://www.pianop.be/warren/integraal.jpg
B

ByTEsPaWn

Legacy Member
Weet je zeker dat het volgens de leerkracht niet de bedoeling was om de oppervlakte tussen de functie en de x-as te berekenen ipv de integraal?
E

Elfanor-

Legacy Member
De opdracht was: Bereken de integraal van -1 tot 1 van 1/x
u

uip

Legacy Member
Elfanor-, je berekening lijkt mij in orde. Je vergeet enkel dat ... de limiet van ln(x) voor x gaande naar nul gelijk is aan oneindig.

Je mag nooit oo nooit aftrekken van een andere oo, of oo + (-oo) ofzo, dus mag je beide ln(b) termen niet schrappen.
F

Fighting Hobbit

Legacy Member
uip heeft gelijk als ik me niet vergis, je splitst het geheel op in twee integralen en beide zijn niet-oneigenlijk integreerbaar, dus dan mag je niet zomaar met limieten als getallen beginnen werken.
E

Elfanor-

Legacy Member
Ja dat weet ik en dan kom je inderdaad niet gedefinieerd uit. Maar bekijk het eens grafisch. In dit geval zijn de + oneindig en de - oneindig 'even groot' Ik weet dat je dat zo niet mag zeggen maar nu is eht toch echt wel zo. Dan is de integraal toch echt gelijk aan 0 nee? En als je zo wat knutselt met die limieten binnenin kan je toch de limiet van 0 krijgen en die is 0. Wat is fout aan die werkwijze?

Fighting Hobbit, ik snap niet zo goed waarom dat niet mag? Ik mag tohc de rekenregels van limieten heir toepassen toch?

Even voor de duidelijkheid heb ik het even op papier opgeschreven.
http://www.pianop.be/warren/integraal.jpg
k

killgore

Legacy Member
Je redenering van dat "zien" gaat hier niet op juist omdat er een oneigenlijkheid inzit.

Wat jij beschrijft is een eigenschap van oneven functies (wat 1/x ook is). Hiervan is namelijk de integraal over een interval symmetrisch rond 0 gelijk aan 0.

Er is echter 1 beperking en dat is dat de integraal geen verticale asymptoten mag bevatten (dus ook voor de tangentiële geldt dit niet).

Bij oneigenlijkheden niet afgaan op het "zien" ;)!
C

Cycloon

Legacy Member
Volgens mij doelt die wel op de werkelijke oppervlakte berekenen onder de curve, anders is deze oefening wel heel idioot.

Je moet gewoon 2 keer de integraal nemen van het positieve stuk, negatieve oppervlaktes bestaan namelijk niet. Eigelijk moet je dit doen:

- integraal -1 -> 0 == integraal 0 -> -1
+ integraal 0 -> 1

Dit geeft integraal 0 -> -1 + integraal 0 -> 1

Of simpelweg 2 * integraal 0 -> 1 door symmetrie die je ook opmerkte.
E

Elfanor-

Legacy Member
killgore zei:
Er is echter 1 beperking en dat is dat de integraal geen verticale asymptoten mag bevatten (dus ook voor de tangentiële geldt dit niet).
Klik om te vergroten...

Oké dank je wel voor je antwoord. Dus een integraal over een interval dat verticale asymptoten bevat bestaat niet.
Ik snap gewoon niet waarom dat het niet gewoon 0 is, de functie is oneven en het gaat van -1 tot 1. Dan moeten de oppervlakten elkaar tcoh opheffen?
E

Elfanor-

Legacy Member
Cyc1oon zei:
Volgens mij doelt die wel op de werkelijke oppervlakte berekenen onder de curve, anders is deze oefening wel heel idioot.

Je moet gewoon 2 keer de integraal nemen van het positieve stuk, negatieve oppervlaktes bestaan namelijk niet. Eigelijk moet je dit doen:

- integraal -1 -> 0 == integraal 0 -> -1
+ integraal 0 -> 1

Dit geeft integraal 0 -> -1 + integraal 0 -> 1

Of simpelweg 2 * integraal 0 -> 1 door symmetrie die je ook opmerkte.
Klik om te vergroten...

Als de opgave is: Bereken de integraal van -1 tot 1 van 1/x dan is het toch niet de werkelijke oppervlakt?
C

Cycloon

Legacy Member
Elfanor- zei:
Als de opgave is: Bereken de integraal van -1 tot 1 van 1/x dan is het toch niet de werkelijke oppervlakt?
Klik om te vergroten...

Euhm, jawel ... Als ik die vraag zou krijgen zou ik zelf de werkelijke oppervlakte uitrekenen en niet gewoon 0 zetten.
E

Elfanor-

Legacy Member
Cyc1oon zei:
Euhm, jawel ... Als ik die vraag zou krijgen zou ik zelf de werkelijke oppervlakte uitrekenen en niet gewoon 0 zetten.
Klik om te vergroten...

Er staat bereken de integraal en dan zijn het de georienteerde oppervlakten waarmee je rekening moet houden. Integraal van -1 tot 2 van (x-1)(x+1)(x-2) is ook de oppervlakte van het eerste deel min de oppervlakte van het tweede deel.
C

Cycloon

Legacy Member
Elfanor- zei:
Er staat bereken de integraal en dan zijn het de georienteerde oppervlakten waarmee je rekening moet houden. Integraal van -1 tot 2 van (x-1)(x+1)(x-2) is ook de oppervlakte van het eerste deel min de oppervlakte van het tweede deel.
Klik om te vergroten...

Welja, het zal wel deels afhangen van de leerkrachten die je hebt in het middelbaar. Als ik DE integraal moet uitrekenen voor die functie dan zal ik de oppervlakte weergeven. Dus naar gelang wat jij denkt dat je leerkracht wenst als antwoord moet je de oefening oplossen.

De integraal over een periode van een sinus is bv ook niet 0 (hoe graag iedereen het ook zou hebben :p ).
E

Elfanor-

Legacy Member
Cyc1oon zei:
Welja, het zal wel deels afhangen van de leerkrachten die je hebt in het middelbaar. Als ik DE integraal moet uitrekenen voor die functie dan zal ik de oppervlakte weergeven. Dus naar gelang wat jij denkt dat je leerkracht wenst als antwoord moet je de oefening oplossen.

De integraal over een periode van een sinus is bv ook niet 0 (hoe graag iedereen het ook zou hebben :p ).
Klik om te vergroten...

Aha, wij hebben het geleerd dat de sinus over een periode dan wel 0 is.
Oké maar stel nu in mijn geval, wat is dan de oplossing? 0 of niet gedefinieerd?
C

Cycloon

Legacy Member
Elfanor- zei:
wat is dan de oplossing? 0 of niet gedefinieerd?
Klik om te vergroten...

Er is ofwel 0, ofwel een oppervlakte (er is wel degelijk een oppervlakte te vinden, ook al lijkt die oneindig). Ik denk dat je zelf maar eens moet kijken wat je hiervoor altijd tijdens de lessen hebt gedaan en het ook zo verder doen.
k

killgore

Legacy Member
Cyc1oon zei:
Welja, het zal wel deels afhangen van de leerkrachten die je hebt in het middelbaar. Als ik DE integraal moet uitrekenen voor die functie dan zal ik de oppervlakte weergeven. Dus naar gelang wat jij denkt dat je leerkracht wenst als antwoord moet je de oefening oplossen.

De integraal over een periode van een sinus is bv ook niet 0 (hoe graag iedereen het ook zou hebben :p ).
Klik om te vergroten...

Dat zou ik zo snel mogelijk uit mijn hoofd zetten. Als men je de integraal over een interval vraagt vraagt men je daadwerkelijk de integraal (wat in 2D-plots dus georiënteerde oppervlakten geeft) en niet de daadwerkelijke oppervlakte tussen de functie en de x-as.

Je leerkracht in het middelbaar zit er toch goed naast als hij dat 2e bedoelde met een integraal uitrekenen.

Elfanor- zei:
Oké dank je wel voor je antwoord. Dus een integraal over een interval dat verticale asymptoten bevat bestaat niet.
Ik snap gewoon niet waarom dat het niet gewoon 0 is, de functie is oneven en het gaat van -1 tot 1. Dan moeten de oppervlakten elkaar tcoh opheffen?
Klik om te vergroten...

Alles wijst erop dat het zo zou zijn natuurlijk, maar er bestaat geen exact wiskundig bewijs dat stelt dat dit ook geldt voor oneven functies met verticale asymptoten. Dus kan je niet zomaar afgaan op je gevoel en is deze integraal onbepaald.

Dat is een beetje zoals de kardinaliteit van oneindige verzamelingen: leg maar eens aan mensen uit dat #Q==#N (wat meeste mensen dus zien als N bevat evenveel elementen als Q, wat "op het zicht" ook totaal onmogelijk lijkt). Bij oneindig en zo nooit afgaan op het gevoel, enkel op wiskundige bewijzen :).

Let wel: als een oneven functie verticale asymptoten bevat, maar deze bevinden zich buiten dat symmetrisch interval, dan is de integraal wel gedefinieerd aan nul. int(tan(x),x=-1..1) is dus wel degelijk gelijk aan nul bv.


edit: en in jouw geval is die (2x positieve) oppervlakte na splitsing trouwens oneindig.
F

Fighting Hobbit

Legacy Member
Een integraal is uiteindelijk gewoon een limiet van Riemannsommen, zo is de klassieke middelbareschool intgeraal toch gedefinieerd. Zolang daar nergens voorwaarden opliggen dat men enkel positieve oppervlakken wil (simpel op te lossen door er een absolute waarde in te gooien) zie ik ook niet echt in waarom je dat wel zo zou tellen.
Uiteindleijk zit volgens mij nog steeds de fout waar die intgeraal gesplitst wordt, uiteindelijk schrijf je onzin op, want je gaat twee onbestaande dingen met elkaar optellen en zeggen dat ze gelijk zijn.
C

Cycloon

Legacy Member
killgore zei:
en in jouw geval is die (2x positieve) oppervlakte na splitsing trouwens oneindig
Klik om te vergroten...

Idd, ze komt oneindig uit, ik zat duidelijk met verkeerde dingen in m'n hoofd. Khad dan ook niet gerekent en dacht dat het zo'n oefening was uit het middelbaar die moest aantonen dat grafieken die naar oneindig gaan ook een vaste oppervlakte kunnen hebben. (bv iets in het genre van 1/wortel(x)) Maar goed, je hebt dus gelijk :)

Om trouwens maar de topicstarter eens te helpen om te zien wat zijn fout is de redenering die hij maakte:

Je stelt a = b, dit mag hier niet omdat je a -> 0 langs de negatieve kant ligt en je b -> 0 langs de positieve kant. Wanneer je de beelden gaat bekijken van beide waarden die ze je dat de ene naar -oo en de andere naar +oo gaat, je mag die hier dus duidelijk niet zeggen a en b voor hetzelfde staan.
E

Elfanor-

Legacy Member
Cyc1oon zei:
Je stelt a = b, dit mag hier niet omdat je a -> 0 langs de negatieve kant ligt en je b -> 0 langs de positieve kant. Wanneer je de beelden gaat bekijken van beide waarden die ze je dat de ene naar -oo en de andere naar +oo gaat, je mag die hier dus duidelijk niet zeggen a en b voor hetzelfde staan.
Klik om te vergroten...

Dit mag toch omwille van die absolute waarden die er staan.
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Terug
Bovenaan