Met permissie, enkele onjuistheden uit de wereld helpen:
- Met de integraal vind je
niet zomaar de oppervlakte, je vindt een veralgemening daarvan (ook wel georiënteerde oppervlakte genoemd) die rekening houdt met het teken.
- Dat is precies de reden waarom de integraal over een periode van de sinus, wél gelijk is aan 0. Er zit evenveel (eindige) oppervlakte boven, als onder de x-as. Wil je de oppervlakte, dan moet je |sin(x)| integreren.
- Het is niet omdat er een verticale asymptoot is, dat de integraal niet bestaat. Bijvoorbeeld: f(x) = 1/sqrt(x) is (oneigenlijk) integreerbaar van x = 0 tot x = 1. De (oneigenlijke) integraal is 2, er is een verticale asymptoot in x = 0.
On-topic: de integraal bestaat niet en is dus ook niet gelijk aan 0. Maar waarom? Het antwoord is 'technisch' van aard, het is een kwestie van definitie.
Als je 1/x wil integreren over een interval dat 0 bevat, dan moet je het interval in twee splitsen. Immers, 0 zit niet in het domein: daar bestaat de functie niet. Als we willen integreren over [-1,1], dan is dit per definitie de integraal over [-1,a] + de integraal over [b,1] waarbij je voor de eerste integraal de linkerlimiet voor a naar 0 neemt en voor de tweede integraal de rechterlimiet voor b naar 0. Dit is de meest algemene manier om de integraal te beschrijven, waarbij je a en b apart naar 0 laat gaan.
Voor de berekening, klik
hier.
Je zou kunnen zeggen: waarom nemen we a én b? Waarom splitsen we niet gewoon met één variabele, bijvoorbeeld c. Om te voorkomen dat het teken mis is, nemen we de rechterlimiet voor c naar 0 en nemen we als rechtergrens in het eerste interval -c: [-1,-c] en [c,1].
Voor deze "alternatieve" berekening, klik
hier.
Waarom "klopt" dit laatste niet? Omdat de eerste gelijkheid niet klopt. De oneingelijke integraal waarvan we vertrokken, is niet gedefinieerd zoals het eerste rechterlid. Waarom vinden we met deze "alternatieve definitie" wel 0? Wel, deze definitie is minder algemeen: we leggen hier op dat we 1/x links van 0 even snel naar 0 laten gaan als rechts van 0. Dit hoeft in het algemeen niet, als je de limieten onafhankelijk laat. Door met één limiet voor c te werken, zie je dat ln(c)-ln(c) wegvalt, hetgeen niet zo is als je de aparte limieten neemt.
Een ander voorbeeld om dit te illustreren, eenvoudiger zonder verticale asymptoten. Beschouw de oneven functie f(x) = x op een symmetrisch interval rond 0, dus op [-a,a] met a in R+. De integraal zal dan altijd 0 zijn, dit is ook grafisch "te zien" aan de oppervlakte. Maar wat met de integraal op (-inf,+inf)? Dat is een oneigenlijke integraal en die moet je dus eerst definiëren.
De definitie die gekozen is om het interval te splitsen, dus met c in R van (-inf,c] + die van [c,+inf). Zo krijg je twee oneingelijke integralen en ga je (-inf+inf) vinden, dus de integraal bestaat niet (divergent). Waarom? We laten de manier waarop je links naar -inf en rechts naar +inf gaat vrij, onafhanklijk van elkaar.
Stel je kiest hier om de integraal te definiëren als de integraal op [-a,a] en hiervan de limiet voor a naar inf. Dán vind je wel 0, omdat je op [-a,a] al 0 vindt, de limiet naar oneindig blijft dan 0. Deze laatste manier van definiëren bestaat ook en heet de "
(Cauchy) Principle Value", in boeken vaak (C)PV genoteerd.
De "alternatieve berekening" die ik gaf voor 1/x, is ook zo'n Cauchy Principle Value. De CPV is dus wel 0, maar de integraal zelf (algemeen) bestaat niet, is divergent. Hopelijk een beetje duidelijker zo
