Archief - korste afstand tussen een parabool en een punt

KULeest · 7 okt 2006

Hey ik zoek de kortste afstand tussen een punt en een parabool zonder gebruik te maken van afgeleiden

(ik zoek dit uit voor men broer die in het 5de middelbaar zit, maar weet niet hoe je dit oplost zonder afgeleiden aangezien die dat nog niet gezien heben)

Alvast bedankt

Timmos · 7 okt 2006

1.

Timmos zei:
gegeven een punt (x0, y0) en een punt op de parabool (x, ax² + bx + c).

Afstand tussen die punten wordt gegeven door
A = SQRT ( (x0 - x)² + (y0 - (ax² + bx + c))² ).

dit is je formule, zoek het minimum hiervan. oeps nu heb je toch afgeleiden nodig

2.

Timmos zei:
De rico van een raaklijn aan een parabool wordt gegeven door m1 = 2ax_p + b. y-coordinaat van een punt op parabool wordt gegeven door y_p = ax_p² + bx_p + c. de rico van de rechte door een punt van de parabool en het gegeven punt (x0, y0) wordt dan gegeven door m2 = (ax_p² + bx_p + c - y0)/(x_p - x0).

Omdat m1 en m2 loodrecht moeten staan moet gelden m2 = -1/m1. Vervang m1 en m2 hier door hun gelijken en los de bekomen vergelijking op naar x_p. Dit geeft je de x-coordinaat van het punt op de parabool dichtst bij jouw gegeven punt. Bereken met x_p dan y_p door x_p in te vullen in de vergelijking van de parabool. Nu ken je de coordinaten van alletwee de punten. Met Pythagoras bereken je de afstand tussen deze twee.

Vraag je niet af van waar ik m1 = 2ax_p + b haal, dit heeft met afgeleiden te maken

KULeest · 7 okt 2006

ah ok merci gewoon minimalisere emme ze pecies wel gezien

Timmos · 7 okt 2006

er staat 1 boven mijn quote omdat ik nog een 2de mogelijkheid aan het uitzoeken ben met rico's die loodrecht op elkaar staan. Mijn antwoord staat in een quote voor de duidelijkheid tss verschillende oplossingen (die er nog niet staan)

EDIT kzal mijn eerste post aanpassen heb een 2de oplossing gevonden

voila aangepast, 2 oplossingen. Maar ge hebt wel afgeleiden nodig ze denk ik. "De kleinste afstand" impliceert toch direct dat het een minimumvraagstuk is?

sneax · 7 okt 2006

waarom hebt ge afgeleiden nodig? ge krijgt gewoon nen dalparabool waarvan de y waarde de afstand tussen het punt en de initiele parabool is, de x waarde is hoever ge van het initieel punt dat ge had verwijderd zijt

de kleinste afstand is de 'top' van die parabool

allé tis maar een gedacht, de formules en al ben ik vergeten maar dit zegt mijn boerenverstgand toch ...

aXl_ · 7 okt 2006

sneax zei:
waarom hebt ge afgeleiden nodig? ge krijgt gewoon nen dalparabool waarvan de y waarde de afstand tussen het punt en de initiele parabool is, de x waarde is hoever ge van het initieel punt dat ge had verwijderd zijt

de kleinste afstand is de 'top' van die parabool

allé tis maar een gedacht, de formules en al ben ik vergeten maar dit zegt mijn boerenverstgand toch ...

en hoe bereken je een 'top' van een parabool dan? toch door het extremum ervan te bepalen met, jawel, een afgeleide

de meest logische oplossing voor dit probleem is volgens mij idd gewoon de afstand van een punt (gegeven) tot een willekeurig punt op die parabool (x, f(x)) uit te drukken als
sqrt( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) en daar het minimum van te zoeken.

ByTEsPaWn · 7 okt 2006

Het hangt er ook vanaf of je de parabool beschouwt als een functie in de Analyse ( F(x)= ax²+b / F(x)= ax²+bx+c ), of als een meetkundig figuur (y²=2px)
Voor beiden bestaan er verschillende concrete methodes, maar ze komen natuurlijk wel op hetzelfde neer.

Timmos · 7 okt 2006

sneax zei:
de kleinste afstand is de 'top' van die parabool

allé tis maar een gedacht, de formules en al ben ik vergeten maar dit zegt mijn boerenverstgand toch ...

ma nee man! stel dat uw gegeven punt op uw parabool ligt en NIET op de top. Dan zal uw kortste afstand nul zijn, en niet de afstand van dat punt tot de top. Dit is zeker fout.

Van mijn oplossingen ben ik zeker.

aXl_ zei:
en hoe bereken je een 'top' van een parabool dan? toch door het extremum ervan te bepalen met, jawel, een afgeleide

Fout. Allez, niet fout, maar teveel werk. De coördinaten van de top van een parabool worden altijd gegeven door ( -b/(2a), (-b² + 4ac)/(4a) )

aXl_ · 7 okt 2006

Timmos zei:
Fout. Allez, niet fout, maar teveel werk. De coördinaten van de top van een parabool worden altijd gegeven door ( -b/(2a), (-b² + 4ac)/(4a) )

ja, mijn wiskunde leraar heeft ons dat ook proberen bij te brengen in het 3de. De brave man voorspelde ons ook dat, hoe hard we dat ook gingen van buiten leren, we dat na een tijd toch gingen vergeten...hij had gelijk

[BAT] Hydra · 7 okt 2006

Dus zonder afgeleiden:

Gegeven een punt (x0, y0) en de parabool f(x) = ax² + bx + c.

Afstand_tot_punt(x) = SQRT ( (x0 - x)² + (y0 - (ax² + bx + c))² ) <=>
Afstand_tot_punt(x)² = (x0 - x)² + (y0 - (ax² + bx + c))² (enkel voor x >= 0) <=>
-Afstand_tot_punt(x)² = - ((x0 - x)² + (y0 - (ax² + bx + c))²) = a'x² + b'x + c <=>
Gezochte afstand = afstand tussen (-b'/2a',f(-b'/2a')) en (x0,y0)

Timmos · 7 okt 2006

[BAT] Hydra zei:
Afstand_tot_punt(x) = SQRT ( (x0 - x)² + (y0 - (ax² + bx + c))² ) <=>
Afstand_tot_punt(x)² = (x0 - x)² + (y0 - (ax² + bx + c))² (enkel voor x >= 0) <=>
-Afstand_tot_punt(x)² = - ((x0 - x)² + (y0 - (ax² + bx + c))²) = a'x² + b'x + c <=>
Gezochte afstand = afstand tussen (-b'/2a',f(-b'/2a')) en (x0,y0)

Waarom zou die x >= 0? Die Pythagorasberekening voor afstand van punten tot elkaar geldt ook voor alle x < 0 hoor. En Afstand_tot_punt(x)² kan nooit negatief worden want je neemt de som van twee kwadraten.

EDIT: deze oplossing is toch niet helemaal 'juist', ik bedoel, die a'x² + b'x + c' is geen parabool, aangezien je (y0 - (ax² + bx + c)) kwadrateert. Je bekomt een 4degraadsvergelijking.

En die vallen niet op te lossen (tenzij van de vorm ax^4 + bx^2 + c).

Archief - korste afstand tussen een parabool en een punt

KULeest

Legacy Member

Timmos

Legacy Member

KULeest

Legacy Member

Timmos

Legacy Member

sneax

Legacy Member

aXl_

Legacy Member

ByTEsPaWn

Legacy Member

Timmos

Legacy Member

aXl_

Legacy Member

[BAT] Hydra

Legacy Member

Timmos

Legacy Member