Archief - [Logica]Consistentie aantonen

Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
B

Bumbolt

Legacy Member
Ik begrijp niet hoe ik volgende consitentie aantoon. De opdracht luid toon aan dmv een calculationeel bewijs of een waarheidtabel:

Het systeem is in multiuser toestand als en slechts als het normaal werkt. Als het systeem normaal werkt, dan functioneert de kernel. De kernel functioneert niet of het systeem is in interruptmodus. Indien het systeem niet in multiuser toestand is, dan is het in interruptmodus. Het systeem is niet in interruptmodus.



Ik snap de kleine stukjes maar ik krijg ze niet in 1 hele zin waarvan ik de waarheid kan aantonen? Hoe begin ik eraan?
T

Tweak37

Legacy Member
A. Het systeem is in multiuser toestand
B. Het systeem werkt normaal
C. De kernel functioneert
D. Het systeem is in interruptmodus

1) B <-> A
2) B -> C
3) niet C of D
4) niet A -> D
------------
niet D
dus A (4) en niet C (3)
dus B (1) en niet B (2)

is dus niet consistent ;) :unsure:
B

Blake

Legacy Member
Tweak37 zei:
A. Het systeem is in multiuser toestand
B. Het systeem werkt normaal
C. De kernel functioneert
D. Het systeem is in interruptmodus

1) B -> A
2) B -> C
3) niet C of D
4) niet A -> D
------------
niet D
dus A (4) en niet C (3)
dus B (1) en niet B (2)

is dus niet consistent ;) :unsure:
Klik om te vergroten...

uw regeltje (A ^ (B => A)) => B is fout. indien 'niet B' dan is sowieso voldaan aan B => A.

de toestand (A, NB, , NC, ND) voldoet aan alle voorwaarden

correctie: er zit ook een foutje in uw abstractie hier, regel 1 moet zijn A <=> B ipv A => B, in dat geval is de conclusie wel juist
B

Bumbolt

Legacy Member
Als en slechts als is een equivalentie dus 1 is zowiezo A <=> B. Maar ik snap niet hoe ik dit calculationeel aantoon of dmv waarheidtabellen.
T

Tweak37

Legacy Member
mja, 1) moet uiteraard a <=> b zijn, wat ik om een of andere reden niet heb geschreven. Sorry voor de verwarring.
B

Bumbolt

Legacy Member
Dus ja mag ze gewoon zo aantonen. Schrijf ik dit best uit in volle tekst als een redenering of telkens met kleine waarheidstabellen?
T

Tweak37

Legacy Member
BlackB zei:
Als en slechts als is een equivalentie dus 1 is zowiezo A <=> B. Maar ik snap niet hoe ik dit calculationeel aantoon of dmv waarheidtabellen.
Klik om te vergroten...

Een calculationeel bewijs is gewoon wat ik gedaan heb maar dan formeel uitgedrukt? Waar zit het probleem precies?
B

Bumbolt

Legacy Member
Ik stelde vandaag de vraag aan een paar oudere jaars studenten. Ze wisten ook niet meteen wat de oplossing was. (is een nieuw vak) maar ze gaven de zelfde oplossing als jij gaf. Maar dit is correct voor deze oefening maar voor een andere oefening zou het niet kloppen omdat wanneer je een geval vindt waarvoor de proposities consistent zijn er niet bewezen is dat er geen geval is waarvoor ze niet consistent zijn en dus allemaal vals.
T

Tweak37

Legacy Member
BlackB zei:
Dus ja mag ze gewoon zo aantonen. Schrijf ik dit best uit in volle tekst als een redenering of telkens met kleine waarheidstabellen?
Klik om te vergroten...

Bv met zgn. waarheidsbomen, iets in de trend van:
1) a <-> b Pr
2) b -> c Pr
...

dat is het handigst denk ik.
T

Tweak37

Legacy Member
BlackB zei:
Ik stelde vandaag de vraag aan een paar oudere jaars studenten. Ze wisten ook niet meteen wat de oplossing was. (is een nieuw vak) maar ze gaven de zelfde oplossing als jij gaf. Maar dit is correct voor deze oefening maar voor een andere oefening zou het niet kloppen omdat wanneer je een geval vindt waarvoor de proposities consistent zijn er niet bewezen is dat er geen geval is waarvoor ze niet consistent zijn en dus allemaal vals.
Klik om te vergroten...

Nee, wat ik gedaan heb is niet zomaar een tegenvoorbeeld geven, maar simpelweg de premissen doorgetrokken tot de conclusie. In ingewikkeldere gevallen zal je beroep moeten doen op elementaire redeneervormen.

Een andere mogelijkheid is met waarheidstabellen werken, maar dat lijkt me nogal tijdrovend.
M

MrZarq

Legacy Member
1e jaar Informatica aan de UGent; Redeneren, Abstaheren en Formuleren van professor M. De Cock? :)

Ik heb dit gewoon in een grote waarheidstabel geschreven (^ tussen iedere propositie). "Niet D" is dan echter ook wel een propositie, naast die 4 die Tweak al gegeven heeft.
Dan gewoon propositie per propositie gekeken waar ze waar zijn. Je kan dit een stuk inkorten door enkel maar de toestanden te bekijken waarbij de proposities die je ervoor beschouwd hebt waar zijn.

(Ik kwam ook uit dat het inconsistent was, btw)
B

Blake

Legacy Member
Tweak37 zei:
A. Het systeem is in multiuser toestand
B. Het systeem werkt normaal
C. De kernel functioneert
D. Het systeem is in interruptmodus

1) B <-> A
2) B -> C
3) niet C of D
4) niet A -> D
------------
niet D
dus A (4) en niet C (3)
dus B (1) en niet B (2)

is dus niet consistent ;) :unsure:
Klik om te vergroten...

Even semi-formeel proberen (het kan formeler, maar het is al 2 jaar geleden bij mij)

De theorie
1) B<=>A
2) B=>C
3) NC of D
4) NA =>D
5) ND

is samen met de regels van de 'gewone' logica (die afgeleid zijn van de axioma's) inconsistent. Dit kan je aantonen door uit deze set regels een regel af te leiden die gewoon '0' (onwaar) is.

eerst zou ik persoonlijk regel 3 'omvormen' door de definitie van 'of' in te voegen (x of y == (Ny => x))

(3, def. 'of') |= ND => NC (6)

vervolgens kan je modus ponens(?) toepassen:
(6,5,MP) |= NC (7)

ik ben de naam vergeten, maar een belangrijke regel is (x=>y) == (Ny=>Nx) hieruit haal je:
(2,regel) |= NC => NB (8)
en
(4,regel) |= ND => NNA (9)

kan je opnieuw 2maal MP gebruiken:
(8,7,MP) |= NB (10)
(9,5,MP) |= NNA (11)

dan kan je via dubbele negatie NNx == x:
(11, DN) |= A (12)

vervolgens kan je afzwakken via x<=>y |= x=>y (en na associativiteit x<=>y == y<=>x)
(1,Weakening) A=>B (13)

en bekom je via MP
(13,12,MP) B (14)

combinatie van 14 en 10 geeft:
B en NB (15)

en hieruit volgt via contradictie (x en Nx == 0)
(15,CO) |= 0
T

Tweak37

Legacy Member
Jep, maar het is nog simpeler als je 3 omvormt naar c -> d. Gecombineerd met de eerste twee premisses geeft dat a -> d. Uit niet d volgt dan niet a, maar uit niet a -> d en niet d volgt a, wat dus een contradictie is.
B

Blake

Legacy Member
bah, transitiviteit is voor mietjes :)
Als je het (semi)formeel uitwerkt, zal het ook ingewikkeld worden...

Het 'ambetante' aan deze oefeningen (naast het feit dat het gewoon ambetant is om iets formeel uit te werken) is dat een fundamentele eigenschap is 0 |= x. Eenmaal je dus ergens een fout maakt en dus met een foute eigenschap begint te werken, kan je alles 'bewijzen'.
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Terug
Bovenaan