Archief - Ontbinden in factoren

Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
L

LittleBIGPlanet

Legacy Member
x^4 + 1

Kan iemand dit ontbinden in factoren? Volgens mij kan dit niet ontbonden worden maar de volgende oplossing staat in mijn boek:

(x² - sqrt(2)x +1) (x² + sqrt(2)x + 1)

Of is het een fout in het boek..?

Geen gemeenschappelijke factoren
Geen merkwaardig product
Kwadratische veelterm [(x²)² + 1] ,maar Discriminant <0
Geen factor van het type x-a
Groeperen van termen? Don't think so..

:help:

Dankje! :crazy:
M

Matt.

Legacy Member
Doe de moeite en reken het uit.
(x² - sqrt(2)x +1) (x² + sqrt(2)x + 1) is wel degelijk x^4 + 1.
Y

Yank

Legacy Member
ik denk dat hij eerder vraagt hoe ze aan die oplossing komen, welke methode ze gebruikt hebben.
tbh, ik zie ook niet meteen hoe ze daaraan komen. enige manier dat ik het zou kunnen oplossen is met complexe getallen, maar dan krijg je gewoon (x²+i)(x²-i)
M

Matt.

Legacy Member
Hij vraagt "of is het een fout in het boek". Als hij het had uitgerekend wist hij dat het geen fout was.
b

bambinoh

Legacy Member
Maar da's niet zen enige vraag ;).

Als je het 2x ontbindt met complexe getallen dan kom je er wel. Ik weet niet of je dit al geleerd hebt, maargoed ; zo doe ik het :

x^4 + 1 = (x² + i)(x²-i) = (x + i sqrt(i))(x - i sqrt(i) ) (x + sqrt(i))(x - sqrt(i))

Dan de 1e met de laatste factor en de 2e met de 3e combineren levert, (na wat uitrekenen)

(x² + sqrt(i) (i-1) +1) * (x² + sqrti(i)(1-i) + 1)

sqrt(i) = sqrt(1/2) + i sqrt(1/2) (kan je zoeken via (a + bi)*(a + bi) = i )

dan vul je dat in, en krijg je na wat verder rekenwerk

(x² - 2x/sqrt(2) +1)(x²+2x/sqrt(2) +1)

en vermits 2/sqrt(2) = sqrt(2), heb je de oplossing :).

NUja, als je nog nooit van complexe getallen gehoord hebt kan je dit nooit bekomen :p.
L

LittleBIGPlanet

Legacy Member
Idd. Hoe komen ze aan die oplossing?

Edit: Had de post hierboven niet gelezen. Nee ik heb nog geen complexe getallen gezien, lijkt chinees voor mij :x Maar al zeker bedankt ;)

Is dat de enige manier om dit te kunnen oplossen?
D

Dieleman_F

Legacy Member
Hier heb je helemaal geen complexe getallen voor nodig:

x^4+1= (x^2+1)^2-2x^2

En nu gewoon ontbinden:

(x^2+1+sqrt(2)x)*(x^2+1-sqrt(2)x)

Ziezo :)
T

Tom!

Legacy Member
LittleBIGPlanet zei:
Is dat de enige manier om dit te kunnen oplossen?
Klik om te vergroten...
Nee hoor, met even nadenken is het niet zo moeilijk.

Je weet dat x^4+1=0 geen reële oplossingen kan hebben, want kwadraten van reële getallen zijn nooit negatief: (x²)²=-1 kan niet.

Hieruit volgt dat er ook geen factor (x-a) in de ontbinding zal zijn, want dan was x = a een nulpunt. De ontbinding zal dus bestaan uit twee kwadratische factoren, elk met negatieve discriminant. Stel voor:

x^4+1 = (x²+px+1)(x²+qx+1)

Je zou kunnen denken dat dit niet algemeen genoeg is, maar je weet dat x^4 coëfficiënt 1 heeft en ook de constante is 1; op die manier heb je maar twee onbekenden. Uit symmetrieoverwegingen zou je zelfs op voorhand al kunnen weten dat ze tegengesteld zijn, dan heb je maar één onbekende. Uitwerken:

(x²+px+1)(x²+qx+1) = x^4+x^3(p+q)+x^2(pq+2)+x(p+q)+1

Als dit gelijk moet zijn aan x^4+1, dan is p+q=0 en pq+2 = 0.
Uit het eerste volgt al (zoals verwacht) p = -q, substitutie in tweede levert p² = 2 dus p = sqrt(2) of tegengesteld.
b

bambinoh

Legacy Member
Dieleman_F zei:
Hier heb je helemaal geen complexe getallen voor nodig:

x^4+1= (x^2+1)^2-2x^2

En nu gewoon ontbinden:

(x^2+1+sqrt(2)x)*(x^2+1-sqrt(2)x)

Ziezo :)
Klik om te vergroten...
Dacht ik ook net aan tijdens eht eten :).

Héhé, nuja, nu heb je 2 manieren ^^.
T

Tr1ploid

Legacy Member
Tom! zei:
Nee hoor, met even nadenken is het niet zo moeilijk.

Je weet dat x^4+1=0 geen reële oplossingen kan hebben, want kwadraten van reële getallen zijn nooit negatief: (x²)²=-1 kan niet.

Hieruit volgt dat er ook geen factor (x-a) in de ontbinding zal zijn, want dan was x = a een nulpunt. De ontbinding zal dus bestaan uit twee kwadratische factoren, elk met negatieve discriminant. Stel voor:

x^4+1 = (x²+px+1)(x²+qx+1)

Je zou kunnen denken dat dit niet algemeen genoeg is, maar je weet dat x^4 coëfficiënt 1 heeft en ook de constante is 1; op die manier heb je maar twee onbekenden. Uit symmetrieoverwegingen zou je zelfs op voorhand al kunnen weten dat ze tegengesteld zijn, dan heb je maar één onbekende. Uitwerken:

(x²+px+1)(x²+qx+1) = x^4+x^3(p+q)+x^2(pq+2)+x(p+q)+1

Als dit gelijk moet zijn aan x^4+1, dan is p+q=0 en pq+2 = 0.
Uit het eerste volgt al (zoals verwacht) p = -q, substitutie in tweede levert p² = 2 dus p = sqrt(2) of tegengesteld.
Klik om te vergroten...
mooie redeneringsmethode. Het zijn dergelijke werkwijzen die wiskunde af en toe leuk kunnen maken. :)
T

Tom!

Legacy Member
De snelste (en elegantste!) methode is hier wellicht inzien dat je de opgave inderdaad kan schrijven als (x²+1)²-2x² (zie bericht Dieleman_F), maar dat 'zie' je misschien niet en werkt ook niet algemeen - de andere (langere) methode kan je (op gelijkaardige manier) ook bij andere opgaven toepassen.
s

suske

Legacy Member
als je een tweeterm moet ontbinden die bestaat uit de som van twee vierdemachten is het het gemakkelijkst dat je gewoon het dubbel product optelt en terug aftrekt en dan verder werkt hier geeft dat dus:

x^4 + 1 = x^4 + 1 + 2x^2 - 2x^2 ( ontbinden als drieterm)

= (x^2 + 1 )^2 - 2x^2 ( verschil van twee kwadraten)

= ( x^2 + 1 +sqrt2 x) ( x^2 + 1 -sqrt2 x)

ja en dan nog even in de juiste volgorde zetten dan heb je de oplossing uit je boek
T

Timmos

Legacy Member
Dit zou een vraag kunnen zijn uit de finale van de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Veel mogelijkheden, maar de elegantste en kortste wint. Dieleman_F zou hier dan wel winnen.

De vraag is wellicht nog iets te simpel voor de finale. Maar ze geeft wel mooi aan hoe de VWO werkt.
D

Dieleman_F

Legacy Member
n/o, maar dit is zelf geen VWO 2de ronde materiaal. :p Tenzij misschien bij de junior, maar voor 5/6de zijn die finalevragen toch een ander kaliber (van horen zeggen jammergenoeg :p).
Y

Yank

Legacy Member
2e ronde zou wel kunnen, bij de eerste vragen dan (daar zitten altijd wat makkelijke bij).
finale zeker niet, tenzij als deelvraag van een oefening mss (en zelf dan nog...)
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Terug
Bovenaan