Archief - log + exp. afgeleiden
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Tom!
Legacy Member
Wat is precies het probleem?
De afgeleide van e^x is e^x en elke a^x met a reëel kan je schrijven ifv een e-macht.
De afgeleide van ln(x) is 1/x en elke log(x) met willekeurige basis kan je schrijven ifv ln(x).
Immers: a^x = e^(ln(a^x)) = e^(x.ln(a)) en log(x,q) = log(x,e)/log(q,e) = ln(x)/ln(q).
De afgeleide van e^x is e^x en elke a^x met a reëel kan je schrijven ifv een e-macht.
De afgeleide van ln(x) is 1/x en elke log(x) met willekeurige basis kan je schrijven ifv ln(x).
Immers: a^x = e^(ln(a^x)) = e^(x.ln(a)) en log(x,q) = log(x,e)/log(q,e) = ln(x)/ln(q).
Tom!
Legacy Member
Waar komt dat quotiënt nu vandaan? Daar heb je evt. de quotiëntregel voor.
Als ik log(x,a) noteer voor de logaritme van x, in grondtal a, dan geldt dus:
log(x,a) = ln(x)/ln(a) waarbij je weet dat ln(x)' = 1/x. Maar ln(a) is een constante!
Dus: (log(x,a))' = (ln(x)/ln(a))' = 1/ln(a) * (ln(x))' = 1/ln(a) * 1/x = 1/(x*ln(a)).
Als ik log(x,a) noteer voor de logaritme van x, in grondtal a, dan geldt dus:
log(x,a) = ln(x)/ln(a) waarbij je weet dat ln(x)' = 1/x. Maar ln(a) is een constante!
Dus: (log(x,a))' = (ln(x)/ln(a))' = 1/ln(a) * (ln(x))' = 1/ln(a) * 1/x = 1/(x*ln(a)).
JasperW
Legacy Member
rammsein zei:tprobleem is vooral de afleiding nar het getal e
en dan bv ln(2x)/ln(3x) afleiden. (mn oplossing wilt niet kloppen met die in het boek.) En 2logx * 3logx lukt mij ook niet
Dat zijn de problemen :d Voor de rest begrijp ik alles wel
ln(2x)/ln(3X) = ((2/2x)(ln(3x))-(ln(2x))(3/3x))/(ln(3x)^2
= ((ln(3x)/x)-(ln(2x)/x))/(ln(3x))^2
= ((ln(3x) - ln(2x))/x)/(ln(3x))^2
= (ln(3/2)/x)/(ln(3x)^2
= (ln(3/2))/(x(ln(3x))^2)
Volgens mij is het dit. Ik zal het morgen nog eens nakijken als ik tijd heb.
e4media
Legacy Member
Ik volg burgerlijk ingenieur (1ste Bach) op de KU Leuven, en bij ons is log hetzelfde als ln, dus:
log(e) = ln(e) = 1
Voor bv grondtal 10 schrijven wij: log10(x)
Achja, ik dacht ik zeg het even. Vond dit raar aangezien alle rekenmachines, andere hb-en log standaard grondtal 10 geven.
log(e) = ln(e) = 1
Voor bv grondtal 10 schrijven wij: log10(x)
Achja, ik dacht ik zeg het even
. Vond dit raar aangezien alle rekenmachines, andere hb-en log standaard grondtal 10 geven.wlibaers
Legacy Member
Redelijk eenvoudig. Begin met de definitie van log x als integraal:
http://mathworld.wolfram.com/NaturalLogarithm.html
daaruit volgt meteen dat log x een primitieve functie is van 1/x, of dat de afgeleide van log x gelijk is aan 1/x.
Exp is de inverse van log, dus:
y = log x
x = exp y
de afgeleide van exp y is:
dx/dy
nu is de afgeleide van een inverse functie gelijk aan de inverse van de afgeleide functie, of:
dx/dy = 1/(dy/dx)
dy/dx is uiteraard de afgeleide van log x, dus 1/x
1/(dy/dx)=1/(1/x)=x=exp y
dus de afgeleide van exp y is exp y.
Voor een andere basis dan e staat er een redelijk beknopte uitleg op wikipedia (als je dat al te uitgebreid vindt, negeer gewoon de geschiedenis en kijk naar de formules)
http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function
http://mathworld.wolfram.com/NaturalLogarithm.html
daaruit volgt meteen dat log x een primitieve functie is van 1/x, of dat de afgeleide van log x gelijk is aan 1/x.
Exp is de inverse van log, dus:
y = log x
x = exp y
de afgeleide van exp y is:
dx/dy
nu is de afgeleide van een inverse functie gelijk aan de inverse van de afgeleide functie, of:
dx/dy = 1/(dy/dx)
dy/dx is uiteraard de afgeleide van log x, dus 1/x
1/(dy/dx)=1/(1/x)=x=exp y
dus de afgeleide van exp y is exp y.
Voor een andere basis dan e staat er een redelijk beknopte uitleg op wikipedia (als je dat al te uitgebreid vindt, negeer gewoon de geschiedenis en kijk naar de formules)
http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function
Tom!
Legacy Member
Volgens mij heeft de gemiddelde middelbare student log(x) niet ingevoerd als een integraal (hoeft overigens ook niet), maar het is toch niet moeilijk om de afgeleide van log(x) (ttz in basis e, daar beter gekend als ln(x)), zijnde 1/x, te onthouden?
@e4media: binnen de wiskunde is het inderdaad gebruikelijk om log(x) te noteren voor de natuurlijke logaritme, terwijl dit in het middelbaar meestal ln(x) is en log(x) voor de Briggse (in basis 10 dus).
@e4media: binnen de wiskunde is het inderdaad gebruikelijk om log(x) te noteren voor de natuurlijke logaritme, terwijl dit in het middelbaar meestal ln(x) is en log(x) voor de Briggse (in basis 10 dus).
Exorikos
Legacy Member
e4media zei:Ik volg burgerlijk ingenieur (1ste Bach) op de KU Leuven, en bij ons is log hetzelfde als ln, dus:
log(e) = ln(e) = 1
Voor bv grondtal 10 schrijven wij: log10(x)
Achja, ik dacht ik zeg het even
De Piessens gebruikt ook tg, terwijl wij jaren in het middelbaar tan hebben moet gebruiken zoals op ons ZRM.
Sertu
Legacy Member
Mja conventies zijn er om niet gerespecteerd te worden zeker.
Bv Spanning: In de elektronica V=RI
In de sterkstroom U=RI
Whats the point van conventies als ze toch allemaal ander letterkes gaan gebruiken :doh:
En log = ln geldt enkel in het eerste jaar burgerlijk. Vanaf dan schrijven ze terug gewoon ln voor natuurlijk en log voor 10-delig logaritme. Geen idee wrm ze het in het eerste jaar zo doen, zeker een afspraakje tussen de Piessens en de Diercx om de verwarring wat groter te maken.
Bv Spanning: In de elektronica V=RI
In de sterkstroom U=RI
Whats the point van conventies als ze toch allemaal ander letterkes gaan gebruiken :doh:
En log = ln geldt enkel in het eerste jaar burgerlijk. Vanaf dan schrijven ze terug gewoon ln voor natuurlijk en log voor 10-delig logaritme. Geen idee wrm ze het in het eerste jaar zo doen, zeker een afspraakje tussen de Piessens en de Diercx om de verwarring wat groter te maken.
Tom!
Legacy Member
Meestal zijn er verschillende notaties in omloop om historische redenen, het nut van conventies is die verschillen net zoveel mogelijk weg te werken. Soms lukt dat vrij goed, soms minder. Het nut is dat je vrij gemakkelijk, universeel over dezelfde onderwerpen kan spreken, als je naast een andere taal ook nog andere symbolen of notaties hanteert, is dat al een stuk moeilijker.Sertu zei:
Binnen de wiskundige gemeenschap is het meer en meer de gewoonte om log(x) te gebruiken voor de natuurlijke logaritme (de notatie ln(x) verliest daardoor zijn functie). Het is nu eenmaal deze logaritme die het meest fundamenteel is binnen de wiskunde, vandaar dat men deze bedoelt als er geen grondtal vermeld wordt. Daarentegen bij ingenieurs en fysici bijvoorbeeld, komt log(x) als log_10(x) nog veel voor omdat er vaak met machten van 10 gerekend wordt, grootteordes enz.Sertu zei:
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.