Archief - Splitsen/Integreren van partieelbreuken

Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
K

Kreek

Legacy Member
Kan iemand mij uitleggen hoe ik een integraal van een partieelbreuk oplos? Ik snap niet echt hoe dat in z'n werk gaat :unsure:

Hier een voorbeeldje:

S( dx / x³ - 3x - 2 ) = .....

Ik heb enkel de oplossing en die is volgens het boek
1/9 ln |x-2| - 1/9 ln |x+1| + (1/3(x+1)) + k

Nu snap ik nie hoe ze daaraan komen.. Kan iemand dit uitleggen?
E

ElBramo

Legacy Member
Ffs, kheb morgen examen en ik kan het op het eerste gezicht ook nie oplossen ... *cry*
T

Tom!

Legacy Member
Let op de haakjes, je bedoelt de primitieve van 1/(x³ - 3x - 2).
Kan je ontbinden in factoren? Het is duidelijk dat -1 een nulpunt is van de noemer, dus (x+1) is een factor.
Dat geldt zelfs twee keer en de overblijvende factor is (x-2), eventueel zelf af te leiden via de regel van Horner.

Dus: x³-3x-2 = (x-2)(x+1)².
Voorstel tot splitsing: 1/(x³-3x-2) = A/(x-2)+B/(x+1)+C/(x+1)²

Rechterlid terug op de oorspronkelijke noemer brengen en gelijkstellen aan de oorspronkelijke teller (dat is 1). Groeperen volgens machten van x en coëfficiënten identificeren levert een lineair stelsel van 3 vergelijkingen in de 3 onbekenden A,B,C.
Eventueel sneller op te lossen door gebruik te maken van het feit dat als het *voor alle x* moet gelden, dan ook voor enkele goed gekozen waarden. Kies nulpunten van de noemer (hier 2 en -1) om termen te laten wegvallen en eenvoudigere vergelijkingen te krijgen.

Antwoord ter controle: A = 1/9, B = -1/9, C = -1/3, dus:
1/(x³-3x-2) = 1/(9(x-2))-1/(9(x+1))-1/(3(x+1)²)

Nu kan je rechtstreeks term per term integreren: twee keer een ln en één keer gewoon de exponentregel.
P

Parnakra

Legacy Member
Je zoekt eerst naar een oplossing van de vgl die in de noemer staat. (-1, in dit geval, daarna reken je na welke tweedegraadsveelterm je nog nodig hebt)

Dan heb je: S(dx / (x+1)(x²-x-2))

Wat blijkt? We kunnen de tweedegraadsveelterm ook nog ontbinden. Dus krijgen we uiteindelijk:

S(dx / (x+1)²(x-2))

Nu is die breuk de uitkomst van de som van twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn aan de coëfficiënten van de uiteindelijke noemer. Laten we deze breuken even met letters voorstellen:

(ax + b)/(x+1)² + c/(x-2) = 1/((x+1)²(x-2))

Als we het linkerlid op één noemer zetten (een noemer die gelijk is aan die uit het rechterlid) kunnen we dus de tellers (en de coëfficiënten van dezelfde graden) aan elkaar gelijkstellen.

Teller linkerlid = (a+c)x² - (2a-b-2c)x - (2b-c)
Als we nu m.b.v. rechterlid de onbekenden in enkele vgl'en plaatsen, bekomen we volgend stelsel:

a+c=0
2a-b-2c=0
-2b+c=1

Na wat rekenwerk komen we uit:

a=-1/9
b=-4/9
c=1/9

Samengevat: nu hebben we volgende integraal:

S(((-1/3(x+1)²)+1/9(x-2))dx)

Deze is dan relatief simpel op te lossen. (uitsplitsen in twee integralen, elk apart primitiveren)

edit: bah, Tom! is juist. Ik was vergeten met het kwadraat rekening te houden bij de partieelbreuken. (dan typ ik hier zo lang aan :'( )
T

Tom!

Legacy Member
In het algemeen, met (ax+b)^n, moet je n keer zo'n term hebben, met alle machten van 1 tot n.
Een lineaire teller voorstellen moet enkel als de noemer kwadratisch is, met discriminant kleiner dan 0.
P

Parnakra

Legacy Member
Tom! zei:
In het algemeen, met (ax+b)^n, moet je n keer zo'n term hebben, met alle machten van 1 tot n.
Een lineaire teller voorstellen moet enkel als de noemer kwadratisch is, met discriminant kleiner dan 0.
Klik om te vergroten...

Inderdaad, maar ik had gewoonweg over dat kwadraat heengekeken, waarschijnlijk. =/

(trouwens, ik kom maar één term tekort in m'n oplossing, dus zou ik nog 2/3 v/d punten moeten krijgen :unsure: )
E

ElBramo

Legacy Member
Hmm ik snap het ongeveer, mr het is een nieuwe methode voor mij. Kheb nooit breuken moeten integreren die van de 3e graad waren. :doh:

Zal daar nu dus ook mr eens op oefenen... Merci voor het antwoord :)

edit: :wtf: nu zie ik opeens dat kwadraat nog staan... Waar komt dat opeens vandaan? :s
P

Parnakra

Legacy Member
Tom! zei:
Leuke leekracht heb jij :)
Klik om te vergroten...

Had, jammer genoeg. (wat zal ik de middelbare school missen)

En let op de 'zou', mijn leerkracht ging mij een mooi rond getalletje gegeven hebben, moest ik op een examen/toets geschreven hebben wat ik daarjuist neergetypt heb.

En zo hoort het ook!

EDIT: @ElBramo, als je je derdegraadsveelterm ontbindt krijg je (x+1), als je dan je tweedegraadsveelterm ontbindt krijg je nogmaals (x+1). (x+1)(x+1)=(x+1)²

Maar ik denk dat je morgen meedoet aan het ingangsexamen geneeskunde (confer thread daarover =) ), en volgens mij zal je geen oefeningen van dit niveau krijgen. (een partieelbreuk met kwadratische noemer (of hogere graad))
T

Tom!

Legacy Member
ElBramo zei:
Hmm ik snap het ongeveer, mr het is een nieuwe methode voor mij. Kheb nooit breuken moeten integreren die van de 3e graad waren. :doh:

Zal daar nu dus ook mr eens op oefenen... Merci voor het antwoord :)
Klik om te vergroten...
Graag gedaan. Het is een vrij belangrijke techniek omdat veeltermbreuken hierdoor altijd primitiveerbaar zijn. Precies omdat je ze, door splitsing in partiële breuken, steeds kan reduceren tot een som van breuken die maximaal kwadratisch zijn in de noemer en lineair in de teller.

ElBramo zei:
edit: :wtf: nu zie ik opeens dat kwadraat nog staan... Waar komt dat opeens vandaan? :s
Klik om te vergroten...
Welk kwadraat? Wat snap je niet?

Parnakra zei:
HEn let op de 'zou', mijn leerkracht ging mij een mooi rond getalletje gegeven hebben, moest ik op een examen/toets geschreven hebben wat ik daarjuist neergetypt heb.
Klik om te vergroten...
Een 0 zou ik er niet op geven, laten we zeggen 1/3 :)
E

ElBramo

Legacy Member
Voorstel tot splitsing: 1/(x³-3x-2) = A/(x-2)+B/(x+1)+C/(x+1)²
Klik om te vergroten...
Dat snap ik niet :) Bij die C in de teller is er een kwadraat in de noemer... Typo of is dat gewoon een techniek? ^^
T

Tha_nOn

Legacy Member
das de techniek ervoor:p

was hetgene waar ik ook had overgezien toen ik het hier aant oplossen was:p klotegedoe
T

Tyfius

Legacy Member
Man, ben ik blij dat ik in mijn 3 jaar informatica geen wiskunde meer gezien heb. 'k Kan er totaal niets meer van :x
T

Tom!

Legacy Member
Voor splitsing in partiële breuken: hier beknopt de theorie en hier wat voorbeelden en meer uitleg, + google natuurlijk :)
P

Parnakra

Legacy Member
Tyfius zei:
Man, ben ik blij dat ik in mijn 3 jaar informatica geen wiskunde meer gezien heb. 'k Kan er totaal niets meer van :x
Klik om te vergroten...

Ik vind het al een schande dat ik deze oefening (na een tweetal maanden geen wiskunde gehad te hebben (een groot jaar geen integralen meer)) al niet meer on-the-fly kan oplossen. =/

Nuja, de gustibus et coloribus et cetera.

Edit: @Tom!, op die site staat wel dat als je (ax+b)^n hebt dat je dan voldoende termen met noemer-graad 1->n moet plaatsen, maar zou je soms kunnen uitleggen/een link geven WAAROM dat moet? (iets theoretischer dus dan 'als bla dan bla')
E

ElBramo

Legacy Member
Tom! zei:
Dat komt omdat: x³-3x-2 = (x-2)(x+1)².
Klik om te vergroten...
Mr wtf, ge hebt toch al nen A/(x-2) en nen B/(x+1) waarom is het dan niet, zoals logisch zou zijn: C/(x+1) zonder kwadraat???? :crazy:

edit: ik ga mij er gewoon bij neerleggen dat het zo is en mij niet meer afvragen waarom het zo is... sigh*
T

Tom!

Legacy Member
ElBramo zei:
Mr wtf, ge hebt toch al nen A/(x-2) en nen B/(x+1) waarom is het dan niet, zoals logisch zou zijn: C/(x+1) zonder kwadraat???? :crazy:
Klik om te vergroten...
Zoals ik al zei, als je noemer van de vorm (ax+b)^n is, moet je n breuken voorstellen met (ax+b) tot de macht 1 t.e.m. n.
E

ElBramo

Legacy Member
Tom! zei:
Zoals ik al zei, als je noemer van de vorm (ax+b)^n is, moet je n breuken voorstellen met (ax+b) tot de macht 1 t.e.m. n.
Klik om te vergroten...
Mmm, blijkbaar, al zie ik de logica er niet van in...
En als ik het goed heb, moet je die vergelijking gelijkstellen aan de vergelijking uit het andere lid. Veel te ingewikkeld en ik ga gewoon erop hopen dat ze dat soort dingen niet vragen :D
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Terug
Bovenaan