Archief - Vraagske afgeleiden van goniometrische functies

Ik heb morgen examen wiskunde en een hoofdstuk gaat over afgeleiden van goniometrische functies.

Hier is een stuk van de oefening waar ik een vraag over heb:


Op mijn formularium staat dat cos x = cos a <=> x = a + 2kpi met k een element van Z.

In de bovenstaande oefening wordt er nochtans kpi gebruikt, waarom?

En op de achterkant van dat blad waar de oefening opstaat, wordt k=-1 en k=0 gebruikt om t te vinden. Hoe weet ik dat ik -1 en 0 moet gebruiken en niet bijvoorbeeld 1?

omdat je een gebied van 180° beschrijft. (want je cos 0 heeft 2 uitkomsten, om te 'kiezen welke' uitkomst je neemt, telt men er steeds K keer Pi erbij, zo heb je altijd je 2 uitkomsten beschreven)

en op uw formularium zou het fout staan als er staat;
cos x= cos a <=> x=a
omdat als je er getallen insteekt;
cos x =cos 45 <=> x = 45° -> juist, maar onvolledig, x is namelijk ook 45° +360°, het is toch dezelfde hoek.
dus om alle hoeken te beschrijven gebruikt men a + 2Pi x k


hoop dat het 'iets' duidelijker is.

edit, sry overgelezen,

om uw T exact te weten (aangezien ge vrij algemeen werkt, door een veelvoud van k te nemen), moet je aan je k een waarde toekennen om te weten hoe groot je hoek precies is.

je kent nu waarden toe aan t;
bijvoorbeeld
als k = -1 is
dan heb je Pi/2 + (-1 x Pi), dus dat is 90° -180° => vandaar vertrekt uwen pijl, 2de kwadrant
als k = 0
dan hebt ge ook nog PI /2 + O x Pi, dus dat is 90° => daar komt uwen pijl toe, 1ste kwadrant

als k =1
dan hebt ge Pi/2 + Pi, dan zijt ge bezig in het 2de en 3de kwadrant
dus k=1 verwerpt ge
als k=2
dan hebt ge Pi/2 + 2x PI en dit is weer hetzelfde als Pi/2, voor k = 0
dus k=2 verwerpt ge ook,
sinds dat je nu al een volledige cirkel beschreven hebt, doet het niets uit dat je nog verdere waarden uitprobeert, je zal steeds op waarden komen die je al gevonden hebt.

alleszins, het is al paar jaar geleden dat ik het zo nog gezien heb dus ik kan mij wel vergissen.

Omdat tegengestelde hoeken gelijke cosinussen hebben, geldt:
cos(x) = cos <=> x = y + 2.k.pi of x = -y + 2.k.pi.

In het algemeen kan je deze oplossing niet samen beschrijven door gewoon veelvouden van pi te nemen. Dat kan (uiteraard) alleen als die tegengestelde oplossingen van hierboven, precies een veelvoud van pi van elkaar verschillen. Dat is alleen het geval voor pi/2 en -pi/2 (en veelvouden van 2.pi hierbij natuurlijk), toevallig is dit het geval in jouw opgave.

deathsythe zei:

omdat je een gebied van 180° beschrijft. (want je cos 0 heeft 2 uitkomsten, om te 'kiezen welke' uitkomst je neemt, telt men er steeds K keer Pi erbij, zo heb je altijd je 2 uitkomsten beschreven)

Klik om te vergroten...

Let dus op: dit klopt (in het algemeen) helemaal niet!

PS: die "cos(0)" die je ergens in het midden schrijft, is ook fout.

Ik denk dat ik het begrijp ja.
Bedankt

Ook weet ik nu waar die k=-1 en k=0 vandaan komt. Het praktisch domein is [0,365](want het ging over de max en min temperatuur in een jaar) en de t moet dus tss 0 en 365 liggen. Dit kan alleen als k=0 of k=-1; k=1 zou te groot zijn

Tom! zei:

PS: die "cos(0)" die je ergens in het midden schrijft, is ook fout.

Klik om te vergroten...

Ja ik weet het, die cos zal ik perongeluk opgeschreven hebben.


Ik denk dat ik nu wel alles begrijp, maar als ik het morgen helemaal zelf moet gaan zoeken zal het wel weer niet gaan.

Tom! zei:

Let dus op: dit klopt (in het algemeen) helemaal niet!

Klik om te vergroten...

ja het staat daar wat ongelukkig, ik zag de term 'tegengestelde hoeken' over het hoofd

at hierboven, oefenen oefenen oefenen

Voor de tangens klopt het dat je slechts één oplossing hoeft te vinden (en dan veelvouden van pi erbij), omdat anti-supplementaire hoeken dezelfde tangens hebben. Bij sinus en cosinus is dit dus niet zo...

Da ze dan mar iet met een tangens vraagt...

En ja, kzal mar es een oefening make, voor alles is ter nen eerste keer zeker

EDIT: juist oefeningske gemaakt en het lijkt helemaal te lukken

Merci allemaal

Nu zie ik hier een oef met pi/2 waar ze wel +2kpi gebruiken
Waarom hier wel en bij de eerste niet?

Ja, maar kijk eens wat er langs staat... Ook de tegengestelde oplossing, zoals ik eerder al zei.

Toevallig zou je die hier kunnen samennemen tot pi/2+k.pi, dat hebben ze hier blijkbaar niet gedaan...

Aaaah, ja nu zie ik het

Sorry, goniometrie heb ik nooit echt goed begrepen, bedankt he

Geen probleem. Onthoud in de eerste plaats de basisregels, niet de uitzonderingen waarbij je "toevallig" kan samennemen.

sin(x) = sin <=> x = y + 2.k.pi of x = pi-y + 2.k.pi
cos(x) = cos <=> x = y + 2.k.pi of x = -y + 2.k.pi
tan(x) = tan <=> x = y + k.pi

Deze moet je ook niet uit je hoofd leren, dat "zie" je op een goniometrische cirkel (op papier of in je hoofd...).

We mogen een formularium(godzijdank) gebruiken op ons examen dus de formules zijn geen probleem, het zijn die "uitzonderingen" waar ik mij altijd op laat vangen

Tom! zei:

Deze moet je ook niet uit je hoofd leren, dat "zie" je op een goniometrische cirkel (op papier of in je hoofd...).

Klik om te vergroten...

Inderdaad.
Als je zo'n dingen vanbuiten leert of van een formularium gebruikt ga je die 'uitzonderingen' niet zomaar zien. Daarvoor moet je weten van waar die regels enzo komen. Zorg dus dat je je een goniometrische cirkel in je hoofd kan voorstellen of het functieverloop van die functies voor je ziet, dan worden al die dingen kinderspel.

Diod zei:

We mogen een formularium(godzijdank) gebruiken op ons examen dus de formules zijn geen probleem, het zijn die "uitzonderingen" waar ik mij altijd op laat vangen

Klik om te vergroten...

De "uitzonderingen" waar we het hier over hebben, zijn gewoon een alternatieve manier van noteren. Speel op veilig en noteer het altijd voluit, dan maak je geen fouten.

Ik betwijfel overigens of een formularium hier echt helpt. Zonder formularium zou je verplicht zijn te snappen wat je doet en precies dat inzicht, zou goniometrie ook veel eenvoudiger maken. Dat is natuurlijk niet jouw schuld, het is eerder een verwijt aan het adres van je leerkracht... In elk geval: succes!

Ja, ik kan het mij wel voorstellen hoor, maar ik wist eigenlijk gewoon niet hoe die ineens aan die kpi kwam. Maarjah, kzal wel gewoon altijd 2kpi gebruiken zoals Tom zegt
Komt ervan als ik altijd maar van het bord zit over te schrijven zonder na te denken...