Archief - Wiskundig vraagje
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
aXl_
Legacy Member
dat voor twee willekeurige punten y1 en y2, de beelden van die twee punten steeds dichter bij elkaar zullen liggen dan een vast veelvoud van de afstand van die twee punten? (voor een vaste N dus).
edit: dus er is een bepaalde, vastgelegde limiet van hoe snel de functie kan stijgen.
als ik het me goed herinner: een lineaire functie is lipschitz continu want je kan een K groter dan 0 vinden zodat voor elke x1 en x2 de voorwaarde die je daar getyped hebt voldaan is (|f(x2)-f(x1)| <= K|x2-x1|).
Een exponentiële functie is dat niet want daar kan je voor elke K die je invult twee punten vinden waarvoor die voorwaarde niet meer geldt.
edit: dus er is een bepaalde, vastgelegde limiet van hoe snel de functie kan stijgen.
als ik het me goed herinner: een lineaire functie is lipschitz continu want je kan een K groter dan 0 vinden zodat voor elke x1 en x2 de voorwaarde die je daar getyped hebt voldaan is (|f(x2)-f(x1)| <= K|x2-x1|).
Een exponentiële functie is dat niet want daar kan je voor elke K die je invult twee punten vinden waarvoor die voorwaarde niet meer geldt.
Tom!
Legacy Member
Elke continue functie f : [a,b]->R met eindige afgeleide op (a,b) is Lipschitz-continu, dus ook exponentiële functies.aXl_ zei:
Maar: op heel R is de exponentiële niet Lipschitz-continu (net zoals f(x) = x² bijvoorbeeld) omdat de afgeleide niet begrensd is (wordt willekeurig groot voor x willekeurig groot).
Je kan Lipschitz-continuïteit zien als een eigenschap tussen (gewone) continuïteit en afleidbaarheid. Elke afleidbare functie is Lipschitz-continu (zie hierboven) en elke Lipschitz-continue functie is (gewoon en uniform) continu.kooksteen zei:Ik heb hier een stelling die gebruik maakt van de Lipschitz-voorwaarde:
|f(x,y2) - f(x,y1)| =< N|y2 - y1|
Hoe moet ik zoiets interpreteren?
Zoals je wellicht al wist, impliceert afleidbaarheid ook al gewone continuïteit. Zie Lipschitz-continuïteit dus als een eigenschap die hiertussen ligt. Zo bestaan er Lipschitz-continue functies die niet afleidbaar zijn (f(x) = |x| op R) en continue functies die niet Lipschitz-continu zijn (f(x) = sqrt(x) op R+).
Dus: afleidbaar => Lipschitz-continu (=> uniform continu) => continu
Kreek
Legacy Member
Ik heb ook nog eens een vraagje over de eigenschappen van de natuurlijke logaritmische functie:
ln xy = integraal(1, xy) dt/t
= integraal(1, x) dt/t + integraal(x, xy) dt/t
dan voeren ze een substitutie uit die ik niet begrijp? t = xu en dt = xdu
dan veranderen de grenzen mee en wordt de som dit:
= integraal(1, x) dt/t + integraal(1, y) du/u
= ln x + ln y
Hoe komen ze aan die voorlaatste stap?
ln xy = integraal(1, xy) dt/t
= integraal(1, x) dt/t + integraal(x, xy) dt/t
dan voeren ze een substitutie uit die ik niet begrijp? t = xu en dt = xdu
dan veranderen de grenzen mee en wordt de som dit:
= integraal(1, x) dt/t + integraal(1, y) du/u
= ln x + ln y
Hoe komen ze aan die voorlaatste stap?
Succes!tom1
Legacy Member
Okay, nog een vraagje 
.
Als je een lineaire DV hebt waarvan de stuurfunctie een stapfunctie is, moet je die dan anders uitrekenen dan waar je een gewone stuurfunctie hebt?
Momenteel bereken ik gewoon wat de complementaire oplossing is en voor elke mogelijkheid van de stapfunctie reken ik uit wat de particuliere oplossing is van die stuurfunctie in kwestie. e
Dan tel ik mijn particuliere op bij mijn complementaire en bekom ik mijn algemene.
Daarna vul ik mijn begin/randvoorwaarden in en kan ik mijn constantes berekenen.
Maar, in mijn oplossingen kom ik af en toe andere constantes tegen (het zijn geen rekenfouten).
Een voorbeeld is:
y''(t) + y(t) = G(t)
waarbij:
G(t) = sin(2t), 0 =< t < pi;
G(t) = 2*sin(2t) - 1, pi =< t < 2pi;
G(t) = 0, 2pi =< t;
.Als je een lineaire DV hebt waarvan de stuurfunctie een stapfunctie is, moet je die dan anders uitrekenen dan waar je een gewone stuurfunctie hebt?
Momenteel bereken ik gewoon wat de complementaire oplossing is en voor elke mogelijkheid van de stapfunctie reken ik uit wat de particuliere oplossing is van die stuurfunctie in kwestie. e
Dan tel ik mijn particuliere op bij mijn complementaire en bekom ik mijn algemene.
Daarna vul ik mijn begin/randvoorwaarden in en kan ik mijn constantes berekenen.
Maar, in mijn oplossingen kom ik af en toe andere constantes tegen (het zijn geen rekenfouten).
Een voorbeeld is:
y''(t) + y(t) = G(t)
waarbij:
G(t) = sin(2t), 0 =< t < pi;
G(t) = 2*sin(2t) - 1, pi =< t < 2pi;
G(t) = 0, 2pi =< t;
tom1
Legacy Member
Lipschitz is duidelijk 
.
Ik weet nu wel maar mijn fout zit, maar ik weet niet hoe ik nu moet verder rekenen.
De Beginvoorwaarden:
y(3pi/2) = 0; y'(3pi/2) = 0;
Die is dus alleen maar geldig in het 2de interval, en dat is ook het enige interval waar mijn oplossing juist is.
Hoe bereken ik het dan voor de intervallen waar die voorwaarde niet geldig is?
.Ik weet nu wel maar mijn fout zit, maar ik weet niet hoe ik nu moet verder rekenen
.De Beginvoorwaarden:
y(3pi/2) = 0; y'(3pi/2) = 0;
Die is dus alleen maar geldig in het 2de interval, en dat is ook het enige interval waar mijn oplossing juist is
.Hoe bereken ik het dan voor de intervallen waar die voorwaarde niet geldig is?
tom1
Legacy Member
Hmm, maar de gegeven oplossing bedraagt:
y(x) = -1/3*(cosx + sinx + sin(2x)) , 0 =< t < pi;
y(x) = -4/3*cosx - sinx - 2/3*sin(2x) - 1 , pi =< t < 2pi;
y(x) = -7/3*(cosx + sinx) , 2pi =< t
Met maple (en eigen handmatige berekeningen) bekom ik:
y(x) = -2/3*cosx - 1/3*sin(2x) , 0 =< t < pi;
y(x) = -4/3*cosx - sinx - 2/3*sin(2x) - 1 , pi =< t < 2pi;
y(x) = 0, 2pi =< t
y(x) = -1/3*(cosx + sinx + sin(2x)) , 0 =< t < pi;
y(x) = -4/3*cosx - sinx - 2/3*sin(2x) - 1 , pi =< t < 2pi;
y(x) = -7/3*(cosx + sinx) , 2pi =< t
Met maple (en eigen handmatige berekeningen) bekom ik:
y(x) = -2/3*cosx - 1/3*sin(2x) , 0 =< t < pi;
y(x) = -4/3*cosx - sinx - 2/3*sin(2x) - 1 , pi =< t < 2pi;
y(x) = 0, 2pi =< t
Kreek
Legacy Member
Even de topic bumpen voor ngo een wiskundig vraagje.. (2e zit 
)
Ok. Ik heb het bewijs voor de continuiteit van de sinus, maar begrijp het niet echt. Hier is het ingescand:
http://img357.imageshack.us/my.php?image=scanhg7.jpg
Ik snap nie hoe ze die sinus in 2 sinussen opsplitsen. Welk regeltje is dat?
Hoe bewijs ik nu de continuiteit van cosinus?
merci..
(2e zit )Ok. Ik heb het bewijs voor de continuiteit van de sinus, maar begrijp het niet echt. Hier is het ingescand:
http://img357.imageshack.us/my.php?image=scanhg7.jpg
Ik snap nie hoe ze die sinus in 2 sinussen opsplitsen. Welk regeltje is dat?
Hoe bewijs ik nu de continuiteit van cosinus?
merci..
Tom!
Legacy Member
Het bewijs klopt (in het begin) niet. Met de juiste formule, geldt:
|sin(x)-sin(a)| ≤ |2.cos((x+a)/2).sin((x-a)/2)| ≤ |2.sin((x-a)/2)| = ...
|sin(x)-sin(a)| ≤ |2.cos((x+a)/2).sin((x-a)/2)| ≤ |2.sin((x-a)/2)| = ...
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.