Archief - Matrices: eigenwaarde en eigenvectoren

Dit stuk had ik gemist in de les en ja hoor wat vragen ze op het examen.
Nu heb ik al wat speurwerk verricht op het internet maar in vind het nergens helemaal duidelijk uitgelegd. Ik weet dat het niet zo moeilijk is.

Kan iemand mij verder helpen hoe ik die precies moet berekenen?
Het heeft al iets te maken met de determinant dacht ik uit die sites afgeleid te hebben

eigenwaarden:
det(A-x*I)=0 uitrekenen en oplossen naar x (I is een eenheidsmatrix met zelfde dimensie als A).

eigenvectoren:
als je die eigenwaarden hebt voldoen je eigenvectoren aan volgende vergelijking (v is hier in kolommatrix representatie, onthoud dat x een scalair is):
A.v=xv
Merk op dat deze vectoren enkel in richting zijn bepaald, de lengte ligt niet vast over het algemeen.
Als je 2 gelijke eigenwaarden hebt moet je voor de eigenvectoren een eigenruimte opstellen (komt er op neer: zoek 2 niet evenwijdige vectoren die voldoen en zeg dat alle lincos ervan een oplossing zijn).

edit: even theoretische uitleg bij die eigenruimte: als je 1 eigenvector hebt vind je uiteindelijk ook een 1-dimensionale eigenruimte, aangezien deze op 1 vrijheidsgraad na bepaald is (dat is wat ik bedoelde met enkel richting ligt vast, maar dat is misschien te meetkundig). Als je dan een eigenwaarde met multipliciteit 2 hebt zal die eigenruimte 2-d zijn, etc... (nuja, met nodige speciallekes als je bv. een eigenwaarde 0 hebt).

Een voordeel is diagonalisatie. Als je de eigenwaarden berekend met bijhorende eigenvectoren dan kan je je originele matrix in vrij eenvoudige vorm herschrijven: A=P'*T*P (P' is inverse van P).
P bevat dan de eigenvectoren van A op zijn kolommen, T de eigenwaarden van A op zijn diagonaalelementen (let op: eerste kolom van P komt overeen met eigenvector horend bij eerste diagonaalelement van T dan).
Dat is zeer handig om zaken als machtsverheffingen te gaan doen gezien A^n dan overeenkomt met P'*T^n*P en T^n is gewoon uw diagonaalelementen machtsverheffen.

Genoeg intro nu, lees uw cursus (dit is trouwens een prachtige korte samenvatting imho ).

Een eigenwaard, laten we ze y noemen van een lineaire afbeelding is eigenlijk een element van het veld zodat een vector door een lineare transformatie op y maal zichzelf wordt afgebeeld. Dat is de heel theoretische uitleg. Een eigenvector is gewoon een vector die door een lineaire transformatie op zichzelf * eigenwaarde wordt afgebeeld. Bij elke eigenwaarde horen een aantal vectoren, en dat wordt dan een eigenruimte, die eigenruimte is zoals je al zou vermoeden een lineaire deelruimte van de vectorruimte. De basisvectoren van twee eigenruimten zijn trouwens ook lineair onafhankelijk, dat is niet zo heel moeilijk om te bewijzen (inductie en uit het ongerijmde dacht ik).
Voor de rest kan je killgore's technieken gebruiken om eigenwaarden en eigenvectoren te vinden.

Andere leukigheden zijn bijvoorbeeld diagonaliseerbaarheid, een lineaire afbeelding en bijhorende matrix zijn diagonaliseerbaar wanneer je een basis van eigenvectoren kan construeren in je vectorruimte.

Ik hoop dat ik het allemaal ongeveer goed uitgelegd heb, de rest zal je wel lukken met behulp van je cursus denk ik. Daar vind je ongetwijfeld nog een massa bewijsjes di ik hier allemaal niet gegeven heb.

en moeten de vectoren gelijk zijn aan 1 en -1, of ligt alles tussen de 1 en -1, dat had iets te maken met vectoren die liggen volgens de x of y as. Of gewoon uitrekenen

QOLIM zei:

en moeten de vectoren gelijk zijn aan 1 en -1, of ligt alles tussen de 1 en -1, dat had iets te maken met vectoren die liggen volgens de x of y as. Of gewoon uitrekenen

Klik om te vergroten...

Bij een symmetrische matrix zijn de eigenwaarden 1 of -1, anders weet ik niet goed wat je bedoelt. Maar onze lineaire algebra is naar het schijnt heel anders als bij jullie (ik vermoed dat je ingenieur doet?).

QOLIM zei:

en moeten de vectoren gelijk zijn aan 1 en -1, of ligt alles tussen de 1 en -1, dat had iets te maken met vectoren die liggen volgens de x of y as. Of gewoon uitrekenen

Klik om te vergroten...

wth, tussen 1 en -1 ken ik enkel uit men cursus systeemtheorie (en paar eigenschappen zoals fighting hobbit zegt). Maar als je zo een cursus hebt zou je toch al lineaire algebra moeten kunnen ze .

Fighting Hobbit zei:

Bij een symmetrische matrix zijn de eigenwaarden 1 of -1, anders weet ik niet goed wat je bedoelt. Maar onze lineaire algebra is naar het schijnt heel anders als bij jullie (ik vermoed dat je ingenieur doet?).

Klik om te vergroten...

Zelfs dat niet. Ik heb hier een symmetrische matrix, waarvan de eigenwaarden 0, 2, 6 en 107 (examennr is echt zo'n klassieker ^^) zijn.

Het probleem is dat er nergens een voorbeeld uitgewerkt staat in ons boek (Linear Algebra and Its Applications Third Edition Update, David C. Lay). Eigenwaarden is makkelijk als je een determinant kan uitrekenen (zomg dat is mij al gelukt ! ;O), maar ik snap al die uitleg over eigenvectoren wel, maar kan het zelf nog niet. Jawel, het wordt een lange dag vandaag.

neenee geen ingenieur we hebben maar 1 jaartje wiskunde vorig jaar waren matrices enz er nog niet bij. Die tussen -1 en 1 had ik ergens op een site zien staan, ging erover dat het dan de x en/of de y-as zou zjn dat je bekomt

Nog een vraagje.
Om de inverse van een matrix te bepalen ga je eerst je determinant bepalen, is die verschillend van 0, dan bestaat er een inverse matrix.
om mijn inverse matrix te bepalen doe ik dan gewoon 1/det (A) * adjunct (A) (adjunct is getransponeerde matrix, dus rijen naar kolommen en omgekeerd)

QOLIM zei:

neenee geen ingenieur we hebben maar 1 jaartje wiskunde vorig jaar waren matrices enz er nog niet bij. Die tussen -1 en 1 had ik ergens op een site zien staan, ging erover dat het dan de x en/of de y-as zou zjn dat je bekomt

Klik om te vergroten...

ah, zo.

Als je een matrix ontbindt en je komt eigenvectoren (t,0,0); (0,s,0; (0,0,k) uit (t, s en k zijn dus parameters) dan liggen deze volgens x, y en z as (of x en y as als je met 2x2 matrices werkt).

(1,0,0) en zo zijn dan de genormeerde vectoren (met lengte 1).

QOLIM zei:

Nog een vraagje.
Om de inverse van een matrix te bepalen ga je eerst je determinant bepalen, is die verschillend van 0, dan bestaat er een inverse matrix.
om mijn inverse matrix te bepalen doe ik dan gewoon 1/det (A) * adjunct (A) (adjunct is getransponeerde matrix, dus rijen naar kolommen en omgekeerd)

Klik om te vergroten...

dat is de slechte manier, en adjunct is ingewikkelder als dat hoor. Dat is de getransponeerde van de eh, kweenie hoe da noemt (matrix waar je elk element vervangt door zijn cofactor).

Goede manier is met reducties, maar weet niet of je die kent?

nee ken ik niet, zo staat het op mijn bladen uitgelegd, maar snap het niet helemaal, mijn oefeningen komen maw niet uit. Wat ik ervoor gedaan had, was vanop een site, maar weet ook weer niet of het klopt (zo stond ook in boeken van was het informatica geloof ik, die hebben ook veel wiskunde). Dus de determinant was om te bepalen of je al dan niet een inverse van een matrix hebt.
In die boeken stond dat je dan de matrix * zijn eenheidsmatrix moest doen (dus bv bij 3*3 matrix moet je doen maal een zekere matrix (dus A tem I zijn dan onbekende getallen) en dat zou moeten gelijk zijn aan de eenehidsmatrix, zou dat dan wel kloppen? Zal zo ook nog eens uittesten.

En niet goed uitgelegd, moet je aan de assistent zeggen, volgens mij heeft hij dat opgesteld, staat niet bij in onze cursus, is apart

Als je eigenwaarde van multipliciteit m is (m is de 'algebraïsche multipliciteit), dan is het helemaal niet zeker dat je er ook m lineair onafhankelijke eigenvectoren bij vindt (in het algemeen n, de 'meetkundige multipliciteit' die maximaal m kan zijn). Het is pas wanneer m = n voor alle eigenwaarden, dat je matrix diagonaliseerbaar is. Equivalent hiermee: als je matrix r x r is, dan geldt dit bovenstaande als je r lineair onafhankelijke eigenvector vindt, of als de som van de dimensies van de eigenruimten dus ook r is.

Fighting Hobbit: symmetrische matrices hebben steeds reële eigenwaarden en zijn bovendien altijd diagonaliseerbaar, maar de eigenwaarde kunnen verder willekeurig zijn.

Tom! zei:

Als je eigenwaarde van multipliciteit m is (m is de 'algebraïsche multipliciteit), dan is het helemaal niet zeker dat je er ook m lineair onafhankelijke eigenvectoren bij vindt (in het algemeen n, de 'meetkundige multipliciteit' die maximaal m kan zijn). Het is pas wanneer m = n voor alle eigenwaarden, dat je matrix diagonaliseerbaar is. Equivalent hiermee: als je matrix r x r is, dan geldt dit bovenstaande als je r lineair onafhankelijke eigenvector vindt, of als de som van de dimensies van de eigenruimten dus ook r is.

Fighting Hobbit: symmetrische matrices hebben steeds reële eigenwaarden en zijn bovendien altijd diagonaliseerbaar, maar de eigenwaarde kunnen verder willekeurig zijn.

Klik om te vergroten...

hehe, nog even en we hebben een geheel hoofdstuk eigenvectoren voor een cursus algebra hier .

hehe stap voor stap wel ja of toch zo ongeveer

killgore zei:

hehe, nog even en we hebben een geheel hoofdstuk eigenvectoren voor een cursus algebra hier .

Klik om te vergroten...

Dat zou mooi zijn ! ^^

met het te vermenigvuldigen aan de eenheidsmatrix blijkt het dus wel te kloppen (tenzij ik geen rekenfout gemaakt heb ) kom 1 ding negatief uit wat positief moet zijn en 1 positief wat negatief moet zijn, voor de rest kloppen de waarden dus zal wel aan mij liggen.

Tot zover de inverse matrix

Tom! zei:

Als je eigenwaarde van multipliciteit m is (m is de 'algebraïsche multipliciteit), dan is het helemaal niet zeker dat je er ook m lineair onafhankelijke eigenvectoren bij vindt (in het algemeen n, de 'meetkundige multipliciteit' die maximaal m kan zijn). Het is pas wanneer m = n voor alle eigenwaarden, dat je matrix diagonaliseerbaar is. Equivalent hiermee: als je matrix r x r is, dan geldt dit bovenstaande als je r lineair onafhankelijke eigenvector vindt, of als de som van de dimensies van de eigenruimten dus ook r is.

Fighting Hobbit: symmetrische matrices hebben steeds reële eigenwaarden en zijn bovendien altijd diagonaliseerbaar, maar de eigenwaarde kunnen verder willekeurig zijn.

Klik om te vergroten...

Wanneer heb je dan een lineair afhankelijke of lineair onafhankelijke vector?

Als je eigenwaarde enkelvoudig is (multipliciteit 1), dan hoort daar een (niet-nulle) eigenvector bij. Dat is er maar één, dus die is sowieso "lineair onafhankelijk". Wanneer je eigenwaarde van hogere multipliciteit is, bijvoorbeeld twee, dan kan het zijn dat je ook twee lineair onafhankelijke eigenvectoren vindt - maar dat is niet noodzakelijk zo. Voorbeeld: de matrix:

( 1 1 )
( 0 1 )

Deze heeft als karakteristieke vergelijking (1-x)² = 0, dus x = 1 is een dubbele eigenwaarde. Het stelsel om de eigenvectoren te vinden:

( 0 1 | 0 )
( 0 0 | 0 )

Dus: y = 0 en x element van R. Eigenvector (1,0), je hebt er maar één, de dimensie van de eigenruimte is dus ook 1.

Wilt er iemand aub dit uitwerken? De eigenwaarden zijn 0 2 6 en 107. Hoe bereken ik daaruit de eigenvectoren? Voor een uitwerking voor één van de eigenwaarden, zou ik al vreselijk dankbaar zijn.

Ik voel mij juist een klein kind dat niks alleen kan.... *sigh*

ad: