Archief - Matrices: eigenwaarde en eigenvectoren

Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Q

QOLIM

Legacy Member
oeps omg ben nog niet goed wakker denk ik

en hoe bepaal ik daarvan dan de eigenvectoren?
Q

QOLIM

Legacy Member
Tom! zei:
Die -x op de diagonaal is goed, maar wat bedoel je met "+ de rest vermenigvuldigt"?
Ook hier: determinant bepalen, gelijkstellen aan 0 en oplossen naar x voor de eigenwaarden.
Klik om te vergroten...

bij de 2*2 gebruiktje de de 5 (1e rij 1e kolom) en de -2 (2e rij 2e kolom)
dan zei je + 2*3 (waarom niet -2) dus ik veronderstel dat dat de overige 2 getallen zijn, nl die 3 en -2 of redeneer ik verkeerd?
k

killgore

Legacy Member
QOLIM zei:
oeps omg ben nog niet goed wakker denk ik

en hoe bepaal ik daarvan dan de eigenvectoren?
Klik om te vergroten...

zoals ik zei in mijn eerste post, je stelt de eigenvector bv.:

[x]
[y]
[z]
(dit is dus een kolomvector/matrix he, geen 3 aparte waarden! Dit forum heeft zooo latex-support nodig <_<)
Je hebt eigenwaarde T, dan moet je oplossen:

Code: 
[a b c] [x] =  [x]
[d e f] [y] = t[y]
[g h i] [z] =  [z]

of in stelselvorm:
Code: 
ax+by+cz=tx
dx+ey+fz=ty
gx+hy+iz=tz

Je zal merken in het algemene geval dat 1 van deze vergelijkingen een lineaire combinatie is van de andere 2 en dus overbodig. Waardoor je dus 2 vergelijkingen bekomt voor 3 onbekenden (x,y,z) en deze dus kunt bepalen op 1 vrijheidsgraadr na :).

edit: Een vb wat ik gisteren nog uitgerekend heb:
Code: 
[10 0 0]
[0 6 -4]
[0 -4 6]
Dan nemen we de algemene vorm:
Code: 
    [10-x 0   0  ]
det([0   6-x -4  ])=0
    [0   -4   6-x]
wat de vergelijking levert:
(10-x)((6-x)²-4²)=0
En na wat rekenwerk dus eigenwaarden 10,10,2.

Voor 2 bepalen we de eigenwaarden aan de hand van het stelsel:
Code: 
10x=2x
6y-4z=2y
-4y+6z=2z
In de eerste vergelijking zie je dat x nul moet zijn, de 2 laatste zijn eigenlijk dezelfde en stellen y=z. Een eigenvector ziet er dan uit als (0,t,t). Een genormeerde versie is sqrt(2)/2*(0,1,1)

Voor de andere 2 kunnen we ook eerst gewoon het stelsel toepassen:
Code: 
10x=10x
6y-4z=10y
-4y+6z=10z
wat wordt
Code: 
x=x
y=-z
-y=z
Hier merken we dat we niet 1 vrijheidsgraad hebben, maar 2.
De eigenvector ziet er als gevolg zo uit: (u,v,v) met u en v nu 2 parameters.

capice :)?
Q

QOLIM

Legacy Member
dus concreet als ik
( 5 3)
(-2 -2) heb

doe ik
5x - 2y = 1x
3x -2y = -4y ?

hoe kan ik dan voort, of gaat dat eniet bij een 2*2 matrix
P

Parnakra

Legacy Member
QOLIM zei:
dus concreet als ik
( 5 3)
(-2 -2) heb

doe ik
5x - 2y = 1x
3x -2y = -4y ?

hoe kan ik dan voort, of gaat dat eniet bij een 2*2 matrix
Klik om te vergroten...
Voor eigenwaarde -1:
5x + 3y = -x
-2x - 2y = -y

Voor eigenwaarde 4:
5x + 3y = 4x
-2x - 2y = 4y
k

killgore

Legacy Member
QOLIM zei:
dus concreet als ik
( 5 3)
(-2 -2) heb

doe ik
5x - 2y = 1x
3x -2y = -4y ?

hoe kan ik dan voort, of gaat dat eniet bij een 2*2 matrix
Klik om te vergroten...

Neen, voor de eigenwaarde -1 (niet 1 :x) heb je dit stelsel:
Code: 
5x+3y=-x
-2x-2y=-y
Waar je uitdrukkingen voor y en x van kan vinden en dus de eigenvector.

voor eigenwaarde 4:
Code: 
5x+3y=4x
-2x-2y=4y
edit: fu parnakra:p
T

Tom!

Legacy Member
QOLIM zei:
bij de 2*2 gebruiktje de de 5 (1e rij 1e kolom) en de -2 (2e rij 2e kolom)
dan zei je + 2*3 (waarom niet -2) dus ik veronderstel dat dat de overige 2 getallen zijn, nl die 3 en -2 of redeneer ik verkeerd?
Klik om te vergroten...
Eigenlijk -(-2)*3, vereenvoudigd +2*3. Determinant van een 2x2:

| a b |
| c d |

Is gelijk aan ab-bc. Die -bc is -(-2)*3 = 6.
F

Fighting Hobbit

Legacy Member
Tom! zei:
Fighting Hobbit: symmetrische matrices hebben steeds reële eigenwaarden en zijn bovendien altijd diagonaliseerbaar, maar de eigenwaarde kunnen verder willekeurig zijn.
Klik om te vergroten...

Ja, ik ben twee dingen door elkaar ana het halen. Ik bedoelde dus een orthogonale transformatie... dom van me :)

Waarschijnlijk is het al gezegd, amar in de meeste handboeken wordt "afgesproken" dat de nulvector geen eigenvector is.
T

Tweak37

Legacy Member
nu we hier toch bezig zijn over algebra: kan iemand me uit leggen hoe het komt dat de inverse van

Code: 
3  0  0  0
0  2  0  0
0  0  0  0

gelijk is aan

Code: 
1/3  0     0  
0     1/2  0  
0     0     0  
0     0     0

???

is dat gewoon het algoritme toepassen? (A I) ~ (I A^-1) of is er een regeltje dat ik niet ken? Ik dacht dat dat alleen opging voor vierkante matrices...
Ook voor het berekenen van pseudo inverses doen ze altijd ik weet niet hoe louche dingen in de voorbeeld examens, maar goed ik kom er nog wel achter.

trouwens Exorikos, eigenvectoren zoeken stond eigelijk wel goed uitgeschreven in het boek hoor, nog voor het vinden van eigenwaarden! Tis iig piece of cake! :p ma da hier boven wellicht ook :unsure:
P

Parnakra

Legacy Member
Ik denk dat hij in z'n eerste matrix een kolom 0'en teveel gezet heeft. =)
H

Handsome Hermit

Legacy Member
Vierkante matrices zijn inderdaad de enige die inverteerbaar zijn. Gesteld dat er een rij nullen en een kolom nullen te veel staat, is het eenvoudig weg de regel dat bij een diagonaalmatrix de inverse de matrix is met op de diagonaal de inverse elementen. Maar bij die gegeven matrix zout ge dan 1/0 moeten pakken dus daar klopt iets niet.

Als ge echter de pseudoinverse zoekt, wat wel kan, gaat de vlieger wel op, maar dan ontbreken er nog wel 2 matrices in uw uitleg want immers is
A+ = V_r*D_-1*U_T_r
T

Tom!

Legacy Member
Handsome Hermit zei:
Vierkante matrices zijn inderdaad de enige die inverteerbaar zijn. Gesteld dat er een rij nullen en een kolom nullen te veel staat, is het eenvoudig weg de regel dat bij een diagonaalmatrix de inverse de matrix is met op de diagonaal de inverse elementen.
Klik om te vergroten...
Met als inverse van 0? "Oneindig"? Toch niet terug 0...
T

Tweak37

Legacy Member
Handsome Hermit zei:
Vierkante matrices zijn inderdaad de enige die inverteerbaar zijn. Gesteld dat er een rij nullen en een kolom nullen te veel staat, is het eenvoudig weg de regel dat bij een diagonaalmatrix de inverse de matrix is met op de diagonaal de inverse elementen.
Klik om te vergroten...

right, dat dacht ik wel, maar er staat ergens wel degelijk een inverse van een niet vierkante matrx, dat zal dan wel een fout zijn, of ik heb totaal misgekeken. :p
H

Handsome Hermit

Legacy Member
Tweak37 zei:
right, dat dacht ik wel, maar er staat ergens wel degelijk een inverse van een niet vierkante matrx, dat zal dan wel een fout zijn, of ik heb totaal misgekeken. :p
Klik om te vergroten...
Dat zal een pseudoinverse zijn dan wss.
Q

QOLIM

Legacy Member
Tom! zei:
Voor de eigenwaarde 107, los op AX=kX met k = 107, of naar het andere lid en homogeen:

Code: 
( 3-107     0        0           -3 | 0 )
( 0         2-107    0            0 | 0 )
( 0         0        107-107      0 | 0 )
( -3        0        0        3-107 | 0 )

Code: 
( -104     0        0     -3 | 0 )
( 0        -105     0      0 | 0 )
( 0        0        0      0 | 0 )
( -3       0        0   -104 | 0 )

Ik noem de onbekenden even {a,b,c,d}.
Uit rij 1 en rij 4 haal je a = d = 0 en uit rij 2 haal je b = 0.
Op c is geen voorwaarde, c element van R. Eigenvector (0,0,1,0).

Analoog voor de anderen, ik vind:
107 : (0,0,1,0); 6 : (1,0,0,-1); 2 : (0,1,0,0); 0 : (1,0,0,1)
Klik om te vergroten...

Hoe weet je hier bij eigenwaarde 6 of a =1 en d=-1, waarom kan het niet omgekeerd zijn? Want -3a = 9d (rij 1) en rij 4: -9a=3d, maar je kan de - toch evengoed omdraaien zodat bij rij 1 3a=-9d, zodat a dus 1 is en -1 bij d

En als er geen voorwaarden zijn dus bij eigenwaarde 107, waarbij c helemaal 0 wordt, is dat dan een regel dat die gelijk is aan 1?
Q

QOLIM

Legacy Member
killgore zei:
zoals ik zei in mijn eerste post, je stelt de eigenvector bv.:

[x]
[y]
[z]
(dit is dus een kolomvector/matrix he, geen 3 aparte waarden! Dit forum heeft zooo latex-support nodig <_<)
Je hebt eigenwaarde T, dan moet je oplossen:

Code: 
[a b c] [x] =  [x]
[d e f] [y] = t[y]
[g h i] [z] =  [z]

of in stelselvorm:
Code: 
ax+by+cz=tx
dx+ey+fz=ty
gx+hy+iz=tz

Je zal merken in het algemene geval dat 1 van deze vergelijkingen een lineaire combinatie is van de andere 2 en dus overbodig. Waardoor je dus 2 vergelijkingen bekomt voor 3 onbekenden (x,y,z) en deze dus kunt bepalen op 1 vrijheidsgraadr na :).

edit: Een vb wat ik gisteren nog uitgerekend heb:
Code: 
[10 0 0]
[0 6 -4]
[0 -4 6]
Dan nemen we de algemene vorm:
Code: 
    [10-x 0   0  ]
det([0   6-x -4  ])=0
    [0   -4   6-x]
wat de vergelijking levert:
(10-x)((6-x)²-4²)=0
En na wat rekenwerk dus eigenwaarden 10,10,2.

Voor 2 bepalen we de eigenwaarden aan de hand van het stelsel:
Code: 
10x=2x
6y-4z=2y
-4y+6z=2z
In de eerste vergelijking zie je dat x nul moet zijn, de 2 laatste zijn eigenlijk dezelfde en stellen y=z. Een eigenvector ziet er dan uit als (0,t,t). Een genormeerde versie is sqrt(2)/2*(0,1,1)

Voor de andere 2 kunnen we ook eerst gewoon het stelsel toepassen:
Code: 
10x=10x
6y-4z=10y
-4y+6z=10z
wat wordt
Code: 
x=x
y=-z
-y=z
Hier merken we dat we niet 1 vrijheidsgraad hebben, maar 2.
De eigenvector ziet er als gevolg zo uit: (u,v,v) met u en v nu 2 parameters.

capice :)?
Klik om te vergroten...


Bedankt zo wordt het al veel duidelijker, enkel dat laatste bij die -y=z en z=-y, je kan de - natuurlijk ook van kant wisselen enz, dus hoe weet je dan uiteindelijk wat je y en wat je z wordt?

Wat bedoel je met die vrijheidsgraad? Maar denk dat dat met het eerste deel van men vraag samenhangt
T

Tom!

Legacy Member
QOLIM zei:
Hoe weet je hier bij eigenwaarde 6 of a =1 en d=-1, waarom kan het niet omgekeerd zijn? Want -3a = 9d (rij 1) en rij 4: -9a=3d, maar je kan de - toch evengoed omdraaien zodat bij rij 1 3a=-9d, zodat a dus 1 is en -1 bij d

En als er geen voorwaarden zijn dus bij eigenwaarde 107, waarbij c helemaal 0 wordt, is dat dan een regel dat die gelijk is aan 1?
Klik om te vergroten...
(Eigen)vectoren zijn maar bepaald op een constante factor na, teken verwisselen kan dus door te vermenigvuldigen met -1. Immers: als v een eigenvector is van de matrix A, met bijbehorende eigenwaarde x, dan geldt: Av = xv. Neem nu k een scalair en bekijk de vector kv, dan geldt:

A(kv) = k(Av) = kxv = x(kv)

Ook kv is dus een eigenvector.
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Terug
Bovenaan