Archief - Matrices: eigenwaarde en eigenvectoren

Jezus v NASA... · 31 jan 2007

ok blijkbaar zitten er hier toch redelijk wat mensen die vrij goed zijn in algebra dus zal ik hier ook maar 2 vraagjes posten
ten eerste: ik slaag er dus van iedere matrix ongeveer in de eigenwaardes te vinden maar bij deze snap ik niet hoe ook -2 een eigenwaarde kan zijn, als iemand dat zou kunnen uitleggen

ik kom gewoon a en 3*2 als eigenwaarden uit

| a 0 0 0 |
| 0 2 0 0 |
| 0 0 0 2 |
| 0 0 2 0 |

en bij deze matrix vroeg ik me ook nog af hoe ge de maximale waarde die A kan aannemen kunt berekenen als ge weet dat x^t * x = 9 met x^t de getransponeerde matrix

en dan nog een vraagje systeemtheorie: hoe bepaalt ge de versterking en faseverschuiving concreet voor een bepaalde ingang, want vind het nergens concreet uitgelegd in mijn cursus, enkel theoretisch wat vrij vaag is

edit: ik weet dat van de vraag over x^t*x het antwoord op het inet te vinden is,maar ook dan is het mij niet echt duidelijk wat achter hun oplossingsstrategie zit

Handsome Hermit · 31 jan 2007

karakteristieke vgl wordt: det van het volgende
| a-l 0 0 0 |
| 0 2-l 0 0 |
| 0 0 -l 2 |
| 0 0 2 -l |
oplossen aan de hand van cofactoren naar 1ste rij
(a-l)(2-l)((-l)*(-l)-4)) = (a-l)(2-l)(l²+4) = (a-l)(2-l)(l+2)(l-2)

Geheel ter zijde, staan er eigenlijk ergens oplossingen van andere examens dan dat van januari 2006?

QOLIM · 31 jan 2007

Tom! zei:
(Eigen)vectoren zijn maar bepaald op een constante factor na, teken verwisselen kan dus door te vermenigvuldigen met -1. Immers: als v een eigenvector is van de matrix A, met bijbehorende eigenwaarde x, dan geldt: Av = xv. Neem nu k een scalair en bekijk de vector kv, dan geldt:

A(kv) = k(Av) = kxv = x(kv)

Ook kv is dus een eigenvector.

hoe kom je dan aan je bv (1,0,0,1) veronderstel dat dat je eigenvectoren zijn of ben ik hier al meer mis. Indien ja bij deze dan hoe bepaal je die. Of kan een eigenvector bv ook -1/2 als getal hebben, dus gewoon de x en y uitwerken via stelsels

Jezus v NASA... · 31 jan 2007

Handsome Hermit zei:
karakteristieke vgl wordt: det van het volgende
| a-l 0 0 0 |
| 0 2-l 0 0 |
| 0 0 -l 2 |
| 0 0 2 -l |
oplossen aan de hand van cofactoren naar 1ste rij
(a-l)(2-l)((-l)*(-l)-4)) = (a-l)(2-l)(l²+4) = (a-l)(2-l)(l+2)(l-2)

Geheel ter zijde, staan er eigenlijk ergens oplossingen van andere examens dan dat van januari 2006?

haha vrij logisch eigenlijk nu ik het zo zie, maar ik zat altijd die kolommen te wisselen wat dus duidelijk niet mocht
en heb ook nog geen andere oplossingen gevonden helaas, buiten dan in de oplossingenboek van algebra achteraan, maar dat zult ge zelf ook al wel gezien hebben (en in de oefenzitting gemaakt hebben) neem ik aan

Tom! · 31 jan 2007

QOLIM zei:
hoe kom je dan aan je bv (1,0,0,1) veronderstel dat dat je eigenvectoren zijn of ben ik hier al meer mis. Indien ja bij deze dan hoe bepaal je die. Of kan een eigenvector bv ook -1/2 als getal hebben, dus gewoon de x en y uitwerken via stelsels

Die (1,0,0,1) was de eigenvector horend bij de eigenwaarde 0. Inderdaad, als je van de diagonaal 0 aftrekt, dan haal je uit rij 2 en rij 3 direct dat b = 0 en c = 0. De rijen 1 en 4 zijn equivalent en leggen op dat a = d, dus (1,0,0,1).

QOLIM · 31 jan 2007

Tom! zei:
Die (1,0,0,1) was de eigenvector horend bij de eigenwaarde 0. Inderdaad, als je van de diagonaal 0 aftrekt, dan haal je uit rij 2 en rij 3 direct dat b = 0 en c = 0. De rijen 1 en 4 zijn equivalent en leggen op dat a = d, dus (1,0,0,1).

Stel dat aan a=-d, dan kan dus ook d=-a, wat wordt dan de -1 en wat de 1?
Of maakt dat niet zoveel uit

Tom! · 31 jan 2007

Zoals ik al zei: eigenvectoren zijn maar bepaald op een evenredigheidsfactor na, je mag ze dus steeds met een (niet-nulle) constante vermenigvuldigen. Vandaar dat (1,0,0,-1) en (-1,0,0,1) dezelfde eigenvector voorstellen, net als (-7/2,0,0,7/2).

Exorikos · 31 jan 2007

Als het even mag nog een vraagje over iets dat er mee te maken heeft.

Ik ben nu bezig met singuliere waarden ontbinding: dus A=USV (S stelt een sigma voor en V is de transpose van V). Nu had ik een vraagje. Als A mxn is welke formaten hebben dan die andere matrices?
U=mxm
S=mxn
V=mxn?

Tom! · 31 jan 2007

Zie hier

QOLIM · 31 jan 2007

Tom! zei:
Zoals ik al zei: eigenvectoren zijn maar bepaald op een evenredigheidsfactor na, je mag ze dus steeds met een (niet-nulle) constante vermenigvuldigen. Vandaar dat (1,0,0,-1) en (-1,0,0,1) dezelfde eigenvector voorstellen, net als (-7/2,0,0,7/2).

ok ddus eigenvectoren moeten niet altijd gelijk zijn aan -1 of 1, of makt het niet uit wat voor cte ze hebben, of juist wel

Exorikos · 31 jan 2007

Zoals ik dacht, een schrijffout in mijn notities. Ik ben wel blij dat ik die les over SVD wel in de aula zat.

Tom! · 31 jan 2007

QOLIM zei:
ok ddus eigenvectoren moeten niet altijd gelijk zijn aan -1 of 1, of makt het niet uit wat voor cte ze hebben, of juist wel

Het maakt niet uit, maar gewoonlijk vereenvoudig je het wel. Als je een eigenvector (-6/5,0,12/5,6/5) vindt, dan vermenigvuldig je bijvoorbeeld met 5/6 zodat je (-1,0,2,1) krijgt. Wat men ook soms doet is de vector normaliseren, als je eenheidsvectoren wil.

QOLIM · 31 jan 2007

ok komt er dus op neer dat je gewoon je x en je y gaat bepalen, no matter wat ze zijn, dus het is niet dat ze altijd 1 of -1 moeten zijn. Maar kan je dan wel -1 of 1 gebruiken als je een cte uitkomt of maakt dat allemaal niet uit, natuurlijk kan je van elk getal wel aan een 1 komen, omdat het hir in bijna alle voorbeelden gaat om 1,0 en -1

Tom! · 31 jan 2007

Het enige wat van belang is, als de onbekenden niet 0 zijn, is hun onderlinge verhouding.
Die verandert ook niet wanneer je de hele vector met een constante vermenigvuldigt.

Als je voor een eigenvector van een 3x3-matrix uiteindelijk het stelsel bekomt:

| 2x = -3y
| 4z = 0

Dan volgt uit de laatste vergelijking z = 0 en uit de eerste dat x = -3/2 y. Kies y = t, dan is x = -3/2t.
Wat t dan is, maakt niet uit, zolang je de onderlinge verhouding respecteert. Eigenvector: (-3/2t,t,0).
Maar: deel nu bijvoorbeeld door de constante t, en je vereenvoudigt tot (-3/2,1,0) of nog: (-3,2,0).

Jezus v NASA... · 31 jan 2007

hmm en wat die svd betreft, wat is nu eigelijk concreet het verschil tussen U en V want in alle oplossingen die ik heb bekeken (met symetrische matrix) zijn die identiek, buiten een eventuele tekenwissel indien een van de eigenwaardes negatief is, klopt deze conclusie wat symetrische matrices betreft?

Tom! · 31 jan 2007

Jezus v NASA... zei:
hmm en wat die svd betreft, wat is nu eigelijk concreet het verschil tussen U en V want in alle oplossingen die ik heb bekeken (met symetrische matrix) zijn die identiek

U en V (nagenoeg) identiek? Ze hebben niet eens dezelfde grootte (toch niet noodzakelijk)...
Zie de wiki link die ik eerder gaf, of hier voor een uitgewerkt voorbeeld.

Jezus v NASA... · 31 jan 2007

Tom! zei:
U en V (nagenoeg) identiek? Ze hebben niet eens dezelfde grootte (toch niet noodzakelijk)...
Zie de wiki link die ik eerder gaf, of hier voor een uitgewerkt voorbeeld.

hmm bedankt,
svd heb ik dus duidelijk nog niet door, al lang spijt dat ik toen niet in de aula zat

edit: het toch even concreet maken dan kan iemand mij mss uitleggen waarom dit zo is:

|a 0 0 0|
|0 2 0 0| = matrix A
|0 0 0 2|
|0 0 2 0|

dan is de eigenwaardenontbinding:

|1 0 0 0|
|0 1 0 0| = matrix P
|0 0 1 1|
|0 0 1 -1|

|a 0 0 0 |
|0 2 0 0 | is matrix D
|0 0 2 0 |
|0 0 0 -2|

en daaruit volgt dat de singuliere waardeontbinding:

|1 0 0 0|
|0 1 0 0|
|0 0 1/wortel2 1/wortel2| = U
|0 0 1/wrtl2 -1/wrtl |

|a 0 0 0|
|0 2 0 0| = E
|0 0 2 0|
|0 0 0 2|

|1 0 0 0 |
|0 1 0 0 |
|0 0 1/wrtl2 -1/wrtl2|
|0 0 1/wrtl2 1/wrtl 2|

ok dus hierin is U toch bijna identiek aan V behalve dat bij V de tekens van de laatste kolom zijn veranderd omdat -2 positief gemaakt is voor de singuliere waarde
hier staat dat dit gedaan mag worden doordat A een symmetrische matrix is en dus ging ik er voor uit dat bij iedere symetrische matrix u en V identiek zijn op eventueel een teken na? of zou ik beter iedere keer de hele uitwerking doen?

Handsome Hermit · 31 jan 2007

Jezus v NASA... zei:
hmm bedankt,
svd heb ik dus duidelijk nog niet door, al lang spijt dat ik toen niet in de aula zat

voor symmetrische zijn U en V wel zeer gelijkaardig. (kunt ge op papier zien dat ge moogt meenemen)

Jezus v NASA... · 31 jan 2007

Handsome Hermit zei:
voor symmetrische zijn U en V wel zeer gelijkaardig. (kunt ge op papier zien dat ge moogt meenemen)

goed dat ge het zegt, het wordt tijd dat ik dat eens afprint!

Tweak37 · 31 jan 2007

Jezus v NASA... zei:
goed dat ge het zegt, het wordt tijd dat ik dat eens afprint!

lol da papier is wel vrij cruciaal, in eht boek staat daar niks van!

@Exorikos: hmm, ik was er niet in die lessen, is er iets interessants verteld ofzo?

Ik vind die SVD nu ni zo moeilijk, is toch gewoon toepassen.

Wat ik wel moeilijker vind is maximale waardes van kwadratische vormen met verandering van constante. Maar goed, nog veel tijd, ik zie het wel zitten...

edit: bij nader inzien was ik daar toch, ik kan me er eerlijk gezegd ni veel meer van herinneren... :unsure:

Het enige wat ik heb opgeschreven is "singular value decomposition = SVD" :sop:

Archief - Matrices: eigenwaarde en eigenvectoren

Jezus v NASA...

Legacy Member

Handsome Hermit

Legacy Member

QOLIM

Legacy Member

Jezus v NASA...

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

QOLIM

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Exorikos

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

QOLIM

Legacy Member

Exorikos

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

QOLIM

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Jezus v NASA...

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Jezus v NASA...

Legacy Member

Handsome Hermit

Legacy Member

Jezus v NASA...

Legacy Member

Tweak37

Legacy Member