Archief - wiskundig probleem
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Fighting Hobbit
Legacy Member
killgore zei:
Jups, normaliter is die oefening in de oefenzittingen ook gemaakt, maar daar is bij ons discussie over geweest en die is niet op tijd op bord geraakt, ik vermoed dat de mensen van 1BW die oefening wel gemaakt hebben en dat dat de oplossing zal zijn. Wij kwamen uiteindleijk in de les ook iets ùet pi uit, het kan ook moeilijk anders...
het was |cos (x+y)|Tom! zei:
PineMangoes
Legacy Member
Hoe begin je eigenlijk aan die integraal? Absolute waarden splits je normaal op in een positief deel, dus abs(cos(x+y)) > 0 voor (x+y) in ]-pi/2,pi/2[ en <0 voor (x+y) in ]pi/2,-pi/2[. Dit gaat hier moeilijk, aangezien je eerst langs x moet afleiden en (x+y) ook van y afhankelijk is. Kheb 't wss ook ooit wel es gezien maar 1e bach is alweer 4j terug.
killgore
Legacy Member
PineMangoes zei:
Makkelijkste is als je een 2D tekeningetje (ook wel xy-plot genoemd) maakt in het vierkantje (0,0)->(Pi/2,Pi/2).
cos(x+y) wordt kleiner dan nul als (x+y)=Pi/2 lijn wordt overschreden, ofte:
y=Pi/2-x.
Het wordt weer groter dan nul als de x+y=3Pi/2 lijn wordt overschreden, ofte:
y=3Pi/2-x
zo wordt je vierkantje ingedeeld in 3 gebieden.
Als je die gebieden bekijkt zie je zonder veel problemen dat je dit moet indelen in 4 regios:
-de linkerbenedenhoek: 0<x<Pi/2, 0<y<Pi/2-x
-de rechterbovenhoek: Pi/2<x<Pi, 3Pi/2-x<y<Pi
-het linkerdeel van die zeshoek omdat daar de ondergrens voor y afhankelijk is van x en bovengrens constant. 0<x<Pi/2, Pi/2-x<y<Pi
-Het rechterdeel van die zeshoek omdat daar de bovengrens voor y afhankelijk is van x en de ondergrens constant. Pi/2<x<Pi, 0<y<3Pi/2-x
De laatste 2 zijn voor negatieve cosinus, de eerste voor positieve.
Dan bekom je (even maplenotatie gebruikt):
int(int(cos(x+y),y=0..Pi/2-x),x=0..Pi/2) +
int(int(cos(x+y),y=3*Pi/2-x..Pi),x=Pi/2..Pi) +
int(int(-cos(x+y),y=Pi/2-x..Pi),x=0..Pi/2) +
int(int(-cos(x+y),y=0..3*Pi/2-x),x=Pi/2..Pi)
wat na wat rekenwerk wel 2*Pi zal geven.
Dit is de "eenvoudigste" methode imho om in te zien, misschien kan je via wat gepruts het herleiden tot minder integralen (doubt it eigenlijk). However: dat gepruts zal u wrsch meer tijd kosten als deze simpele grenzenbepaling en uiteindelijk vrij eenvoudige resterende integraal
.Meerdimensionale integralen zijn eigenlijk enkel zo trutten door die grensbepaling hoor
(nuja, toch bij functies waar je die splitsing mag doen, alle praktische bijna dus 
).Fighting Hobbit
Legacy Member
killgore zei:Meerdimensionale integralen zijn eigenlijk enkel zo trutten door die grensbepaling hoor
Uhu, dat si zo, en als je dan nog met jacobianen en coördinaatswijzigingen begint te knoeien wordt het al helemaal een feestje...
PineMangoes
Legacy Member
killgore zei:Makkelijkste is als je een 2D tekeningetje (ook wel xy-plot genoemd) maakt in het vierkantje (0,0)->(Pi/2,Pi/2).
cos(x+y) wordt kleiner dan nul als (x+y)=Pi/2 lijn wordt overschreden, ofte:
y=Pi/2-x.
Het wordt weer groter dan nul als de x+y=3Pi/2 lijn wordt overschreden, ofte:
y=3Pi/2-x
zo wordt je vierkantje ingedeeld in 3 gebieden.
Als je die gebieden bekijkt zie je zonder veel problemen dat je dit moet indelen in 4 regios:
-de linkerbenedenhoek: 0<x<Pi/2, 0<y<Pi/2-x
-de rechterbovenhoek: Pi/2<x<Pi, 3Pi/2-x<y<Pi
-het linkerdeel van die zeshoek omdat daar de ondergrens voor y afhankelijk is van x en bovengrens constant. 0<x<Pi/2, Pi/2-x<y<Pi
-Het rechterdeel van die zeshoek omdat daar de bovengrens voor y afhankelijk is van x en de ondergrens constant. Pi/2<x<Pi, 0<y<3Pi/2-x
De laatste 2 zijn voor negatieve cosinus, de eerste voor positieve.
Dan bekom je (even maplenotatie gebruikt):
int(int(cos(x+y),y=0..Pi/2-x),x=0..Pi/2) +
int(int(cos(x+y),y=3*Pi/2-x..Pi),x=Pi/2..Pi) +
int(int(-cos(x+y),y=Pi/2-x..Pi),x=0..Pi/2) +
int(int(-cos(x+y),y=0..3*Pi/2-x),x=Pi/2..Pi)
wat na wat rekenwerk wel 2*Pi zal geven.
Dit is de "eenvoudigste" methode imho om in te zien, misschien kan je via wat gepruts het herleiden tot minder integralen (doubt it eigenlijk). However: dat gepruts zal u wrsch meer tijd kosten als deze simpele grenzenbepaling en uiteindelijk vrij eenvoudige resterende integraal
Meerdimensionale integralen zijn eigenlijk enkel zo trutten door die grensbepaling hoor
Thx! Dat 2D tekeningetje had ik al gemaakt, maar dat ik y in functie van x kon uitdrukken, die stap had ik niet gezet. Kvroeg me al af hoe je aan pi in de oplossing kon komen met enkel 'n goniometrische functie om te starten. Chance dat er nauwelijks een integraal meer in m'n cursussen voorkomt, laat staan 'n dubbele
_DKsissor_
Legacy Member
om deze topic maar eventjes terug te gebruiken Ik heb nl ook nog een klein vraagje , dat wel niets met integralen te maken heeft.
Weet iemand hoe het mogelij kis om vanuit 3 coordinaten (die een driehoek vormen) de opp hiervan te berekenen.Als het een rechthoekige driehoek is het easy maar bij een gewone zou ik niet weten hoe je ( de hoogte van je driehoek) moet vinden.Das een loodrechte projectie van een punt op de andere zijde maar hoe je zoiets doet
Ik heb nl ook nog een klein vraagje , dat wel niets met integralen te maken heeft.Weet iemand hoe het mogelij kis om vanuit 3 coordinaten (die een driehoek vormen) de opp hiervan te berekenen.Als het een rechthoekige driehoek is het easy maar bij een gewone zou ik niet weten hoe je ( de hoogte van je driehoek) moet vinden.Das een loodrechte projectie van een punt op de andere zijde maar hoe je zoiets doet
deathsythe
Legacy Member
ge meet de onderlinge afstand tussen u punten, |AC|, |AB|, |BC|,...
da doet ge door bv (afstand berekenen)
|AC| = vierkantswortel uit ( x2-x1)²+(y2-y1)
en mss helpt dit.
van wiki:
Een hoogtelijn is een lijn in een driehoek, die door een van de hoekpunten gaat en loodrecht op de overliggende zijde staat. De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de helft van het product van de lengte van een hoogtelijn (van hoek tot eventueel verlengde zijde) en de bijbehorende zijde.
dus bereken eerst de totale oppervlakte, en dan is die zijde uw onbekende.
edit, met de formule van heroon, kan je de opp berekenen
dan doeje dit als volgt
s = 1/2 (a + b+ c)
driehoek abc = vierkantswortel uit (s .(s-a).(s-b).(s-c) )
da doet ge door bv (afstand berekenen)
|AC| = vierkantswortel uit ( x2-x1)²+(y2-y1)
en mss helpt dit.
van wiki:
Een hoogtelijn is een lijn in een driehoek, die door een van de hoekpunten gaat en loodrecht op de overliggende zijde staat. De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de helft van het product van de lengte van een hoogtelijn (van hoek tot eventueel verlengde zijde) en de bijbehorende zijde.
dus bereken eerst de totale oppervlakte, en dan is die zijde uw onbekende.
edit, met de formule van heroon, kan je de opp berekenen
dan doeje dit als volgt
s = 1/2 (a + b+ c)
driehoek abc = vierkantswortel uit (s .(s-a).(s-b).(s-c) )
Parnakra
Legacy Member
Prop die coördinaten in een matrix, reken de determinant uit en deel het zootje door 2.
/edit: Arg, blok doet rare dingen met een mens. =/ Negeer deze post maar, ik had het op de inhoud van een tetraëder. =/ (en dan moet je nog met vectoren werken, niet de coördinaten v/d punten)
/edit2: Aha, m'n geheugen liet me toch niet volledig in de steek. Als het om een driehoek in het XY-vlak gaat, kan je de drie punten in een matrix gooien en als derde coördinaat 1 nemen. Als je dan de determinant van die matrix deelt door 2 kom je de opp. van die driehoek uit.
/edit: Arg, blok doet rare dingen met een mens. =/ Negeer deze post maar, ik had het op de inhoud van een tetraëder. =/ (en dan moet je nog met vectoren werken, niet de coördinaten v/d punten)
/edit2: Aha, m'n geheugen liet me toch niet volledig in de steek. Als het om een driehoek in het XY-vlak gaat, kan je de drie punten in een matrix gooien en als derde coördinaat 1 nemen. Als je dan de determinant van die matrix deelt door 2 kom je de opp. van die driehoek uit.
Lensos
Legacy Member
Het makkelijkste is om gewoon een grafiekje te maken van |cos(x)|, dit zijn gewoon bulten met een lengte van pi. Als je dan van 0 tot pi integreert, integreer je over een hele periode. Het maakt dan niet uit wat y is, je komt altijd de oppervlakte van 1 sinusbult uit (of cosinusbult). Na 1e Bach zou je stilaan moeten weten dat die oppervlakte 2 is.Fighting Hobbit zei:
Dus:
int_0^pi (int_0^pi |cos(x+y)| dx) dy = int_0^pi (2) dy = 2pi
En wat meer ontopic:
een handig trucje voor het integreren van cos^2(x) over een hele periode. Er geldt dat sin^2 + cos^2 =1 en het is duidelijk dat int(cos^2) = int(sin^2) over een hele periode. De oppervlakte is dus net de helft van een rechthoek met hoogte 1 en breedte de periode: 2pi/2 = pi.
Dit kan zeer handig zijn wanneer je intensiteiten van golven moet berekenen bijvoorbeeld. Maar zij die dit veel nodig hebben zullen dat al wel geweten hebben.
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.