Archief - Algemene Wetenschapsthread

Tom! · 19 apr 2006

In de geest van ogenschijnlijk juiste, maar toch foute, wiskunde; nog zo enkelen.
Zoek de fout, elementaire en meer subtiele voorbeelden.

1) voorkennis: ontbinden in factoren

a = b
a² = ab
a²-b² = ab-b²
(a-b)(a+b) = b(a-b)
a+b = b
2b = b
2 = 1

2) voorkennis: basis complexe getallen, namelijk i² = -1, sqrt(x) betekent de vierkantwortel uit x

-1 = i*i = sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt((-1)*(-1)) = sqrt(1) = 1

3) voorkennis: afgeleiden

x² = x*x = x + x + ... + x (totaal x termen)
(x²)' = (x + x + ... + x)' (totaal x termen)
2x = 1 + 1 + ... + 1 (totaal x termen)
2x = x
2 = 1

4) complexe voorstelling via e-macht

e^(2*pi*i) = 1
ln(e^(2*pi*i)) = ln(1)
2*pi*i = 0

Parnakra · 19 apr 2006

Tom! zei:
1) voorkennis: ontbinden in factoren

a = b
a² = ab
a²-b² = ab-b²
(a-b)(a+b) = b(a-b)
a+b = b
2b = b
2 = 1

a = b <=> a - b = 0

Delen door nul == :naughty:

Tom! zei:
2) voorkennis: basis complexe getallen, namelijk i² = -1, sqrt(x) betekent de vierkantwortel uit x

-1 = i*i = sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt((-1)*(-1)) = sqrt(1) = 1

sqrt(-1*-1) == abs(-1) == 1 v -1

Groot verschillen tussen wortel v/e kwadraat en kwadraat v/e wortel.

Tom! zei:
3) voorkennis: afgeleiden

x² = x*x = x + x + ... + x (totaal x termen)
(x²)' = (x + x + ... + x)' (totaal x termen)
2x = 1 + 1 + ... + 1 (totaal x termen)
2x = x
2 = 1

4) complexe voorstelling via e-macht

e^(2*pi*i) = 1
ln(e^(2*pi*i)) = ln(1)
2*pi*i = 0

Deze twee zie ik niet onmiddellijk, zal er misschien straks nog eens op zoeken. (in het voorlaatste voorbeeld deel je wel een onbekende weg, maar mits vermelding dat x E R\{0} 'klopt' het dan weer...)

MilM · 19 apr 2006

Tom! zei:
1) voorkennis: ontbinden in factoren

a = b
a² = ab
a²-b² = ab-b²
(a-b)(a+b) = b(a-b)
a+b = b
2b = b
2 = 1

delen door nul is verboden

Tom! · 19 apr 2006

Parnakra zei:
a = b <=> a - b = 0
Delen door nul == :naughty:

Juist, lachertje

Parnakra zei:
sqrt(-1*-1) == abs(-1) == 1
Groot verschillen tussen wortel v/e kwadraat en kwadraat v/e wortel.

Er geldt inderdaad sqrt(x²) = |x|, maar in welke stap zit volgens jou nu de fout?

Parnakra zei:
Deze twee zie ik niet onmiddellijk, zal er misschien straks nog eens op zoeken. (in het voorlaatste voorbeeld deel je wel een onbekende weg, maar mits vermelding dat x E R\{0} 'klopt' het dan weer...)

Het wegdelen van x mag inderdaad enkel als x niet 0 is, maar indien x dat wel was heb je vanaf de eerste regel al 0 = 0, de laatste stap mag dan inderdaad niet. Maar goed, in de veronderstelling x niet 0 dus...

Parnakra · 19 apr 2006

Tom! zei:
Er geldt inderdaad sqrt(x²) = |x|, maar in welke stap zit volgens jou nu de fout?

Tweede stap.

I.v.m. dat laatste probleem is het enige wat ik op dit moment kan zien dat:

ln(e^(2*pi*i)) == 2*ln(e^(pi*i)) == 2 * ln(-1)

En een logaritme van een negatief getal kan niet.

Maar ik vermoed dat er een meer sluitende verklaring is.

EDIT: Ahja, tuurlijk!

Je bent bezig in de imaginaire verzameling, dus als ln(1) != 0, aangezien je nog het ln van je imaginaire deel moet noemen.

Ik vermoed dat dat zou lukken met de goniometrische notatie voor imaginaire getallen, maar daarvoor ben ik al wat te veel vergeten van m'n complexe getallen. :/

MilM · 19 apr 2006

Tom! zei:
3) voorkennis: afgeleiden

x² = x*x = x + x + ... + x (totaal x termen)

kan het zijn dat hier de fout zit ?
(rechts beschouw je x als een constante integenstelling tot links)

Tom! · 19 apr 2006

Parnakra zei:
Tweede stap.

Dus i*i = sqrt(-1)sqrt(-1)? Als je de notatie i = sqrt(-1) toelaat (dat kan, maar met de nodige omzichtigheid) dan is dat niet waar het echt foutloopt.

Parnakra zei:
I.v.m. dat laatste probleem is het enige wat ik op dit moment kan zien dat:

ln(e^(2*pi*i)) == 2*ln(e^(pi*i)) == 2 * ln(-1)

En een logaritme van een negatief getal kan niet.

Maar ik vermoed dat er een meer sluitende verklaring is.

Nee, de eerste uitdrukking bestaat wel degelijk. Wat jij doet kan je vergelijken met zeggen dat sqrt(1) (we werken nu even zuiver reëel) niet bestaat omdat je het kan schrijven als sqrt((-1)*(-1)) = sqrt(-1)*sqrt(-1) terwijl de vierkantswortel van een negatief getal niet bestaat.

MilM zei:
kan het zijn dat hier de fout zit ?
(rechts beschouw je x als een constante integenstelling tot links)

De x is in beide leden hetzelfde hoor, een verder onbekend (maar van 0 verschillend) getal. De uitdrukking ziet er natuurlijk niet erg wiskundig uit, maar op zich is x² inderdaad x precies x keer bij zichzelf optellen.

MilM · 19 apr 2006

Tom! zei:
De x is in beide leden hetzelfde hoor, een verder onbekend (maar van 0 verschillend) getal. De uitdrukking ziet er natuurlijk niet erg wiskundig uit, maar op zich is x² inderdaad x precies x keer bij zichzelf optellen.

ik bedoel dus dat die stap enkel geldig zou zijn voor constanten en niet voor functies, terwijl je x daarna als een functie beschouwt (doordat je x afleidt als een functie en niet als een constante)

nee ?

Tom! · 19 apr 2006

MilM zei:
ik bedoel dus dat die stap enkel geldig zou zijn voor constanten en niet voor functies, terwijl je links x als een functie beschouwt (doordat je x afleidt als een functie en niets als een constante)

nee ?

Je zit in de buurt, maar het klopt niet helemaal. Voor een constante zoals 5/3 of pi werkt het ook niet, want (pi)² en (5/3)² bestaan wel, maar dat kan je niet schrijven als pi + pi ... + pi (en dat "pi keer") omdat pi geen natuurlijk getal is. Dus om x² te kunnen schrijven als x + x + ... + x, precies x keer, moet x natuurlijk zijn.

Los van dat notatie-probleem mag dan ook de volgende stap niet, omdat je dat rechterlid dan (term per term) gaat afleiden. Het afleiden lukt enkel voor continue functies, en als voor het rechterlid x enkel een natuurlijk getal mag zijn is dat daar zeker niet continu, dus ook niet afleidbaar.

Parnakra · 19 apr 2006

Tom! zei:
Dus i*i = sqrt(-1)sqrt(-1)? Als je de notatie i = sqrt(-1) toelaat (dat kan, maar met de nodige omzichtigheid) dan is dat niet waar het echt foutloopt.

Ok, ik bedoelde dus derde stap. :/ (zat nog te veel te denken aan de andere voorbeelden)

sqrt(-1)*sqrt(-1) = -1^.5 * -1^.5 = -1^(.5 + .5) = -1^1 = -1

De vierkantswortel is eigenlijk gemakshalve ingevoerd en er wordt stil aanvaard dat er enkel met positieve getallen mag gewerkt worden. (de vierkantswortel is 'gereserveerd' voor de positieve uitkomst v/d bewerking die hij uitvoert, als het ware)

EDIT: heb je de edit van m'n vorige post al gelezen? Ik vermoed dat ik juist zit, maar nu zou ik wel graag eens de juiste uitwerking willen zien, kwestie van m'n geheugen wat op te frissen. =)

Tom! · 19 apr 2006

Parnakra zei:
Ok, ik bedoelde dus derde stap. :/ (zat nog te veel te denken aan de andere voorbeelden)

sqrt(-1)*sqrt(-1) = -1^.5 * -1^.5 = -1^(.5 + .5) = -1^1 = -1

Ok, je hebt nu sqrt(-1)*sqrt(-1) uitgewerkt op een bepaalde manier - maar waarom mag de stap niet in 'mijn uitwerking', dat is de vraag.

Parnakra zei:
EDIT: Ahja, tuurlijk!

Je bent bezig in de imaginaire verzameling, dus als ln(1) != 0, aangezien je nog het ln van je imaginaire deel moet noemen.

Ik vermoed dat dat zou lukken met de goniometrische notatie voor imaginaire getallen, maar daarvoor ben ik al wat te veel vergeten van m'n complexe getallen. :/

ln(1) is nog altijd 0, ook in C. Of bedoel je iets anders?

MilM · 19 apr 2006

Tom! zei:
Ok, je hebt nu sqrt(-1)*sqrt(-1) uitgewerkt op een bepaalde manier - maar waarom mag de stap niet in 'mijn uitwerking', dat is de vraag.

ln(1) is nog altijd 0, ook in C. Of bedoel je iets anders?

omdat sqrt(-1) enkel een notatie is
voegen onder één wortel is fout, aangezien je een rekenregel gebruikt die enkel bestaat binnen een deelverzameling van complexe getallen (reële)

Tom! · 19 apr 2006

MilM zei:
voegen onder één wortel is fout, aangezien je een rekenregel gebruikt die enkel gedefinieerd is binnen een deelverzameling van imaginaire getallen

Dat is het, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b) geldt niet meer algemeen in C, in tegenstelling tot R.

Parnakra · 19 apr 2006

Tom! zei:
Ok, je hebt nu sqrt(-1)*sqrt(-1) uitgewerkt op een bepaalde manier - maar waarom mag de stap niet in 'mijn uitwerking', dat is de vraag.

Welja, dat heeft iets te maken met die 'reservatie' van de vierkantswortel voor positieve getallen. Beter kan ik het niet verwoorden.

Tom! zei:
ln(1) is nog altijd 0, ook in C. Of bedoel je iets anders?

Neenee, ln(1) is inderdaad 0 in C, maar ln(e^2*pi*i) is dat ook.

Je werkt ln hieruit alsof het argument een element is van R, wat het niet is.

Als ik het mij goed herinner moest je daar een formuletje voor toepassen, maar al sla je me dood, ik kan er niet opkomen.

Tom! · 19 apr 2006

Parnakra zei:
Neenee, ln(1) is inderdaad 0 in C, maar ln(e^2*pi*i) is dat ook.

Je werkt ln hieruit alsof het argument een element is van R, wat het niet is.

Als ik het mij goed herinner moest je daar een formuletje voor toepassen, maar al sla je me dood, ik kan er niet opkomen.

Het komt in de buurt ja. Het probleem is dat, complex, de exponentiële functie periodisch is en dus is de logaritme een meerwaardige functie geworden. Er geldt dus niet meer zomaar ln(e^z) = z, maar ln(e^z) = z + 2k*pi*i voor zekere k. Zowel ln(1) als ln(e^(2*pi*i)) zijn inderdaad 0.

Tom! · 19 apr 2006

Ze zijn allevier opgeklaard geloof ik, nog eentje dan omdat het zo snel ging.

Voorkennis: integralen, partiële integratie.

Een techniek bij partiële integratie is soms om dezelfde integraal (met een bepaalde factor) terug te krijgen om dan naar het andere lid te brengen en zo de primitieve te bepalen. Hier een analoge werkwijze, maar met 0 = 1 als resultaat.

Lensos · 19 apr 2006

Onbepaalde integraal is op een constante na bepaald. Die constante 'kan verschillend zijn (ongelukkig geformuleerd) voor de twee integralen van dx/(x ln(x)). Zoiets is het, maar misschien niet zo heel duidelijk uitgelegd.

Ik heb hier thuis nog een pracht van een vals bewijs, ik zal het eens zoeken en posten!

Tom! · 19 apr 2006

De fout ligt inderdaad bij de integratieconstante, deze vallen niet tegen elkaar weg.

Lensos · 19 apr 2006

Hier volgt het bewijs dat elke willekeurige driehoek gelijkbenig is.

Daartoe heb ik een tekeningetje gemaakt:
http://users.skynet.be/Lensos/Vals Bewijs.JPG

Constructie:
-Willekeurige driehoek ABC.
-De rode lijn is bissectrice uit hoek B
-De groene lijn is de middelloodlijn op [AC], door midden D van [AC], en snijdt de bissectrice in het punt O.
-We trekken uit O loodlijnen naar [AB] en [BC] met voetpunten respectievelijk E en F
-Ten slotte tekenen we [AO] en [CO] nog.

Bewijs:
We bewijzen eerst de congruentie van enkele driehoekparen:
+ EBO = FBO: Motivatie: HHZ:
--- Beiden een rechte hoek
--- Gelijke hoeken in B, want bissectrice
--- Gemeenschappelijke zijde [BO]
Gevolg: |EO| = |FO|
|EB| = |FB|
+ EOA = FOC: Motivatie 90ZZ:
--- Beiden hebben een rechte hoek
--- |EO| = |FO| (net aangetoond)
--- |OA| = |OC| want O ligt op de middelloodlijn van [AC] (door constructie)
Gevolg: |AE| = |CF|

We hebben dus:
|EB| = |FB| en |AE| = |CF|
Tel beiden op:
|AE|+|EB| = |CF|+|FB|
ofwel: |AB| = |CB|

Waarmee we bewezen hebben dat onze willekeurig driehoek twee even lange zijden heeft. Elke driehoek is gelijkbenig

Veel succes ermee

Fighting Hobbit · 19 apr 2006

Hoe komen ze bij die partiële integratie aan de +?

Archief - Algemene Wetenschapsthread

Tom!

Legacy Member

Parnakra

Legacy Member

MilM

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Parnakra

Legacy Member

MilM

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

MilM

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Parnakra

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

MilM

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Parnakra

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Lensos

Legacy Member

Tom!

Legacy Member

Lensos

Legacy Member

Fighting Hobbit

Legacy Member