Archief - Wiskunde vraagjes
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Parnakra
Legacy Member
Veel valt er toch niet te bewijzen aan de kettingregel? Als je het begrip 'afgeleide) gedefinieerd hebt volgt het er toch rechtstreeks uit?Tom! zei:
Trouwens, 'theorie erbij slepen' klinkt nogal bombastisch voor wat het eigenlijk is. Één simpel regeltje die in de meeste gevallen triviaal is (zoals mijn voorbeeld), maar onderliggend altijd uitgevoerd wordt.
Ik denk dat je er iets te zwaar aan tilt, of nog steeds niet volledig snapt wat ik bedoel.
Eigenlijk wel. Die x kan je opvatten als een functie (zoals ik al zei) en dan heb je f'(x) = cos(x)*(x)' = cos(x)*1 = cos(x).Tom! zei:
Ik zal nog maar eens zeggen dat ik wéét dat het belachelijk en triviaal is, maar je kan dit in alle gevallen toepassen, dus moet je in alle gevallen de kettingregel gebruiken. Natuurlijk moet je het nooit exlpiciet zo uitschrijven, of er zelfs veel rekening meehouden, het is gewoon iets dat aantoont dat er aan de kettingregel altijd voldaan moet zijn.
Zoals hierboven, ln(x) kan omgevormd worden tot een meervoudige functie dus moet je de kettingregel in acht nemen.Tom! zei:
Maar ik zal ermee ophouden, want aan dit soort dingen zoveel tijd besteden is voor niemand goed. Laat iedereen de kettingregel gebruiken zoals hij/zij wil (zonder hem fout te gebruiken
) en we zijn allemaal gelukkig./edit: Nog eentje om het af te leren.
Ik mag dat wel verkondigen, hé.Mephisto zei:
(I kid, I kid)Trouwens, in het geval van de threadstarter ging het beter geweest zijn moest hij dat in acht genomen hebben, want hij twijfelde of hij de kettingregel wel toe moest passen in een geval waar dat zeer zeker het geval was.
Tom!
Legacy Member
Rechtstreeks? Het is net iets minder triviaal. Ik vind het bewijs niet moeilijk, maar dat is subjectief.Parnakra zei:
Dat is toch irrelevant? Het gaat om de subtiliteit "moeten" <-> "mogen", of dat in de praktijk op triviale regeltjes neerkomt, maakt dan niets uit.Parnakra zei:
We maken er m.i. ook meer woorden aan vuil dan nodig ja, maar dat komt omdat er (niet alleen wiskundig) een groot verschil is tussen "mogen" en "moeten". Als jij verkondigt dat je een regel altijd moet gebruiken terwijl dat niet zo is, dan is het niet zo belachelijk dat iemand je daar op wijst. De reden waarom het nogal lang duurt, is omdat jij niet lijkt te willen aanvaarden dat het niet altijd moet...Parnakra zei:
Tom!
Legacy Member
Hier begin je fout ("eigenlijk wel") en corrigeer je jezelf onbewust: je "kan" die x opvatten als een nieuwe functie, maar dat "moet" dus niet.Parnakra zei:
Ik weet niet of je iets van logica kent, maar die implicatie klopt dus niet (zoals je eerder wél al inzag, dacht ik).Parnakra zei:
Misschien kan je hier kort op antwoorden. Gegeven de definitie van de afgeleide en de functie f(x) = x². Ik beweer dat ik de afgeleide van die functie kan vinden, zonder de kettingregel te formuleren, te bewijzen en toe te passen. Indien akkoord, is het duidelijk dat de kettingregel niet moet. Indien niet akkoord, wil ik je de afgeleide wel geven vanuit de definitie.
Parnakra
Legacy Member
Dit is dan ook niet de reden waarom je de kettingregel moet gebruiken, het is de reden waarom er niets mis mee is om hem te gebruiken.Tom! zei:
Ik ken genoeg van logica om te weten dat die implicatie niet altijd klopt, maar in dit geval, waar er géén verlies is van rekenkracht/geld/werkkracht/machinale arbeid/whatever geldt ze wél.Tom! zei:
Zeer zeker akkoord. Maar stel dat die x iets anders zou zijn, bv. Bgtan(ln(cosh(1/(6-e^(x)))) dan zou het zonde zijn om de kettingregel te vergeten.Tom! zei:
Ik zou het graag duidelijke formuleren, maar ik vind de juiste woorden of het juiste voorbeeld niet. Dus laat ik maar zeggen dat ik het verplichte gebruik v/d kettingregel gewoon als ezelsbruggetje gebruik om fouten te vermijden en dat iedereen er het zijne van mag denken. Dit soort discussie is anders wel de ideale manier om vakantie-verveling tegen te gaan.
Mephisto
Legacy Member
Ik wil er ook wel mee ophouden, maar dit vraagt erom.Parnakra zei:
Het is niet omdat je de kettingregel kan hanteren (door om te vormen zoals jij doet), dat het moet.
Inderdaad:
d/dx ln(x) = 1/x
Nah, zonder kettingregel, ook al kan ln(x) tot een samengestelde functie worden omgevormd. Je moet de kettingregel dus niet in acht nemen.
Btw, de kettingregel volgt rechtstreeks uit de definitie van afgeleide?
Parnakra
Legacy Member
In dat tweede citaat slaat de 'het' op 'het omvormen naar een meervoudige functie', niet op 'het toepassen v/d kettingregel'.Mephisto zei:
En nu stop ik er écht mee.
Ok, nog één voorbeeld om dit te illustreren. Als het regent is het nat, maar als het nat is, regent het niet noodzakelijk. Een logische verklaring die klopt en overeenkomt met ons probleem hier.Tom! zei:
Nu, volgens mij bevinden we ons in een wereld/universum waar er niets anders bestaat (dan de regen) dat tot oorzaak heeft dat het nat zou kunnen zijn. M.a.w., de verklaring 'als het nat is, regent het' klopt. Toch?
Parnakra
Legacy Member
Succes nog! =pMephisto zei:
En om nog één onduidelijkheid de wereld uit te helpen:
Yep, zoals je hier kan zien dien je enkel de definitie v/d afgeleide uit te schrijven voor twee na elkaar uit te voeren operaties om de kettingregel te bewijzen. Dat is toch tamelijk rechtstreeks, me dunkt?Mephisto zei:
Tom!
Legacy Member
Ja, en? Ik zou de kettingregel niet vergeten. Maar ik zou m'n studenten niet aanleren dat je de kettingregel "altijd moet gebruiken".Parnakra zei:
Ik heb morgen nog een examen, van vakantieverveling is (nog) geen sprakeParnakra zei:
We bevinden ons in een wiskundige wereld waar alle functies als samenstellingen kunnen geschreven worden. Hierdoor kan/mag je de kettingregel ook altijd toepassen. We bevinden ons echter niet in een wiskundige wereld waar functies als samenstellingen moeten geschreven worden.Parnakra zei:
Los van je regenvoorbeeld, je zei zelf dat de implicatie niet altijd klopt. Logica: dan klopt de implicatie niet. Zoals ik al zei, rekenkracht en al die andere zaken die je er bij had gesleept, zijn irrelevant. Zie je dat niet?
Fighting Hobbit
Legacy Member
Het bewijs van de kettingregel is niet moeilijk, maar als je het op een exate wijze wil doen moet je toch veel dingen gaan afschatten ("klein maken" zogezegd). Dat bewijsje in mijn cursus analyse is toch bijna een bladzijde lang als ik me niet vergis, maar wij hebben wel nooit het begrip limiet ingevoerd, vandaar dus dat je vrij veel afschat ook.
Parnakra
Legacy Member
Ook nog veel succes gewenst, dan.Tom! zei:Ik heb morgen nog een examen, van vakantieverveling is (nog) geen sprake
Nogmaals parafraseren: Als je de kettingregel gebruikt, ben je altijd correct, als je de kettingregel niet gebruikt, ben je niet altijd fout.Tom! zei:
Nu, volgens mij zijn er ettelijke miljarden gevallen meer, waar de kettingregel moet gebruikt worden, dan waar hij mag gebruikt worden. Dus als je de kettingregel altijd gebruikt zit je sowieso safe. Meer nog, in de gevallen waar de kettingregel niet hoeft te gebruiken, is er niets dat je belet om het gedachtensprongetje te maken (g(x)=x) dat het geval omvormt tot één van de eerste categorie.
Mocht dat gedachtensprongetje nu iets moeilijker of tijdsrovender zijn dan dat, zou ik inderdaad niet beweren dat het moet, maar in dit geval? Niemand struikelt er toch over? Daarom dat ik die rekenkracht enzovoorts erbij haalde. (de machinale arbeid enzo was trouwens een poging tot grappig zijn/luchtig houden van de discussie)
Als reactie op je laatste alinea (en in een poging samen te vatten): mijn implicatie klopt inderdaad niet altijd, maar d.m.v. dat petieterig klein gedachtensprongetje kun je ze wel altijd doen kloppen.
Tom!
Legacy Member
Juist, met als logische conclusie (logisch in de strikte zin van het woord): kettingregel mag altijd, maar moet niet altijd. Dat was net het hele punt.Parnakra zei:
Eigenlijk niet. De kettingregel is er om het afleiden gemakkelijker te maken, maar je kan het ook gewoon met de definitie doen. Maar daar ging het niet over.Parnakra zei:
De logica struikeltParnakra zei:
Fighting Hobbit
Legacy Member
Tom! zei:
Officieus wel, maar de limiet van een functie hebben we nooit ingevoerd, de afgeleide bijvoorbeeld hebben we gedefinieerd als
f'(a) zodat
|(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)|<epsilon
(eigenlijk moet ik het formeler opschrijven met nog een delta en wat kwantoren, maar ik dnekd at je het zo ook wle begrijpt)
Merk nu dus op dat dit in feite gewoon een limiet is, maar we hebben dat nooit als apart begrip ingevoerd...
Parnakra
Legacy Member
Ok dan, laatste poging.Tom! zei:Juist, met als logische conclusie (logisch in de strikte zin van het woord): kettingregel mag altijd, maar moet niet altijd. Dat was net het hele punt.
Eigenlijk niet. De kettingregel is er om het afleiden gemakkelijker te maken, maar je kan het ook gewoon met de definitie doen. Maar daar ging het niet over.
De logica struikelt
Als ik zeg dat je de kettingregel altijd moet gebruiken, schop ik enkel de logica tegen de schenen, maar die verdient het.
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.