Archief - raadsel

Tom! zei:

Nee, dit is een klassieke fout. Na meer dan 36 worpen zou je volgens deze redenering een kans > 1 uitkomen en dat kan natuurlijk niet.

Het 'numeriek' juiste antwoord was er al door matthi_182, Lensos vond de juiste exacte breuk. Tenzij iemand nog een andere poging wil wagen, plaats ik nog een alternatieve oplossing (zonder matrices).

Klik om te vergroten...

Maar je zou enkel 1/36 + 1/36 + 1/36 doen indien gevraagd was wie heeft er de meeste kans om te winnen, de persoon die 1 maal 12 gooit of 3 maal achtereenvolgens een 7?

Hetgeen het naar oneindig brengen doet, is de uiterste verhoudingen zo kort mogelijk bij de grenswaarde brengen. En aangezien we dan met een verhouding van 2 bezig zijn is dit door het zo kort mogelijk bij 50% te brengen. Aangezien ik nog nooit gezien heb dat een initiele voorsprong in een onderlinge verhouding ombuigt naar een achterstand.

Of waar zit er iets niet in de haak in mijn redenering?

Nu ja, ik ben toch benieuwd naar die alternatieve oplossing.

Renegadexxripxx zei:

Maar je zou enkel 1/36 + 1/36 + 1/36 doen indien gevraagd was wie heeft er de meeste kans om te winnen, de persoon die 1 maal 12 gooit of 3 maal achtereenvolgens een 7?

Klik om te vergroten...

Of je dat nu twee, drie, zevendertig of honderd keer doet: die kansen op die manier optellen is fout - zoals ik al aangaf door naar het geval van meer dan 36 termen te kijken.

Renegadexxripxx zei:

Hetgeen het naar oneindig brengen doet, is de uiterste verhoudingen zo kort mogelijk bij de grenswaarde brengen. En aangezien we dan met een verhouding van 2 bezig zijn is dit door het zo kort mogelijk bij 50% te brengen. Aangezien ik nog nooit gezien heb dat een initiele voorsprong in een onderlinge verhouding ombuigt naar een achterstand.

Of waar zit er iets niet in de haak in mijn redenering?

Klik om te vergroten...

Hier begrijp ik eerlijk gezegd niet zo goed wat je precies wil zeggen...

Ik begrijp je redenering niet helemaal goed, maar kansen optellen is iets waar je altijd mee moet oppassen. Maar je had wel gelijk dat Nicole een voorsprong heeft. Deze oorzaak ligt in het feit dat Nicole elke worp kans heeft om te winnen, maar bij Hugo hangt dit ook af van de vorige worp. Bijgevolg zal op eender ogenblik het niet vallen van een 7 voor Hugo betekenen dat hij volgende worp ook nog niet zal kunnen winnen. Nicole wel.
Een quantisatie hiervan vind je in mijn vorige post...
...of in de volgende van Tom! (ik ga een alternatieve oplossing alvast niet kunnen raden, dus van mij mag je het posten Kansrekenen blijft toch een verwarrend iets )

(Nog een) oplossing van R15

De truc bestaat erin om recursie in het spel te krijgen, na een worp die geen 7 of 12 is, begint het wat kansen betreft immers terug "van 0", dus zijn de kansen opnieuw gelijk.

Noem de kans dat Nicole wint p, dan is de kans dat Hugo wint 1-p. We kunnen dan de volgende gevallen onderscheiden voor de eerste twee worpen met sommen W1 en W2:
- W1 = 12: kans 1/36 en Nicole wint,
- W1 = 7 en W2 = 12: kans 1/6.1/36 = 1/216 en Nicole wint,
- W1 = 7 en W2 = 7: kans 1/6.1/6 = 1/36 en Hugo wint,
- W1 = 7 en W2 is geen 7 of 12: kans 1/6.29/36 = 29/216 (*)
- W1 is geen 7 of 12: kans 29/36 (**)

Bij de sterretjes belanden we terug waar we gestart zijn, aan worp 3 (*) of worp 2 (*) met terug kans p voor Nicole en kans 1-p voor Hugo; de vorige worp(en) maken dan niet meer uit. De kans p moet dus gelijk zijn aan bovenstaande kansen:

p = 1/36 + 1/216 + (29/216)p + (29/36)p.

Hieruit volgt eenvoudig p = 7/13 voor Nicole, dus 6/13 voor Hugo.

Tom! zei:

Of je dat nu twee, drie, zevendertig of honderd keer doet: die kansen op die manier optellen is fout - zoals ik al aangaf door naar het geval van meer dan 36 termen te kijken.

Klik om te vergroten...

Dit geeft gewoon aan wie het voordeel heeft. Iemand die 37 keer achtereenvolgens een 7 moet gooien in vergelijking met iemand die 1 maal een 12 moet gooien, heeft de persoon die die 12 moet gooien maar 1 maal een voordeel. Kan het zijn dat die persoon 37 keer achtereenvolgens een 7 gooit zonder dat die persoon 1 maal een 12 gooit. Ja, dat is mogelijk, kans dat dit voorvalt is gewoon zeer klein. En dit kun je dan te weten komen door de verhouding te berekenen.

Kortom je bekijkt de kans dat beide voorvallen dan simpelweg als 100% en kunt hierdoor dan berekenen +- wat de procentuele kans gaat zijn dat deze mogelijkheid gaat voorvallen.

Tom! zei:

Hier begrijp ik eerlijk gezegd niet zo goed wat je precies wil zeggen...

Klik om te vergroten...

Hiermee doelde ik gewoon op het feit, dat iets doortrekken naar een oneindig aantal attempts (ergo totdat de kans zich voordoet) er gewoon voor zorgt dat dit zich nestelt naar een balans die even ver van 50 zou liggen als de andere van 50 ligt. Maar dit voordeel zal zich niet meer omkeren. Tegelijkertijd was dit de vraagstelling ook niet. Vraagstelling was enkel wie het voordeel had. En dat had Nicole.

Als je mij had gevraagd wat is de exacte kans voor zowel Hugo en Nicole dat het vorige kan gebeuren bij een oneindig aantal attempts dan had ik het op een andere manier moeten zoeken en toch wel effe zitten in mijn haren te krabben :d.

Renegadexxripxx zei:

Dit geeft gewoon aan wie het voordeel heeft. (...)
Kortom je bekijkt de kans dat beide voorvallen dan simpelweg als 100% en kunt hierdoor dan berekenen +- wat de procentuele kans gaat zijn dat deze mogelijkheid gaat voorvallen.

Klik om te vergroten...

Ik denk dat ik wel ongeveer begrijp wat je wou zeggen of wou beredeneren, maar dan zie ik nog altijd niet in waarom je dat zou doen op basis van een foute kansberekening (je mag die kansen immers niet op die manier optellen).

Renegadexxripxx zei:

Vraagstelling was enkel wie het voordeel had. En dat had Nicole.

Klik om te vergroten...

De formulering van de vraag is ook maar een verhaaltje dat ik uit m'n duim zoog om het wat luchtiger te maken, uiteraard wou ik de precieze kans weten

Renegadexxripxx zei:

Maar dit kwam even tot mij.

3/36 = 12 (P Nicole + P hugo)

P(grens) = p(50% van kans voor nicole en hugo)= 6

-> Nicole heeft het voordeel -> P(50) + 1 / P (Nicole + hugo) + 1 => 7/13

Hugo heeft het nadeel -> p(50)/ P(Nicole + Hugo) + 1 => 6/13

Maar dit is waarschijnlijk te voor de hand liggend. Of gewoon een fluke.

Klik om te vergroten...

Fluke of gewoon juist, ik zou het niet direct weten want ik begrijp niet helemaal wat je precies doet...

Tom! zei:

Ik denk dat ik wel ongeveer begrijp wat je wou zeggen of wou beredeneren, maar dan zie ik nog altijd niet in waarom je dat zou doen op basis van een foute kansberekening (je mag die kansen immers niet op die manier optellen).

Klik om te vergroten...

Omdat ik die andere manier niet meer herinnerde :d. En ik loop nu eenmaal graag tegen een muur, zo onthoud ik het beter :d.

Tom! zei:

Fluke of gewoon juist, ik zou het niet direct weten want ik begrijp niet helemaal wat je precies doet...

Klik om te vergroten...

Fluke. Ik was veel te veel aan het negeren... feitelijke correcte versie van wat ik had geschreven was 7/26ste en 6/26ste

Ah ok, want ik wou net reageren op je poging om dit voor drie opeenvolgende zevens op die manier op te lossen (je had iets van 4% tegen 96% maar opeens was dat bericht weg): daar zou het 43/49 voor Nicole moeten zijn (bijna 88%).

Zo, R15 is opgelost. Ik vind dat een bijzonder elegant raadseltje omdat het zo eenvoudig is qua vraagstelling, enkel een basis kansrekening vergt maar toch niet triviaal is om op te lossen; bovendien heeft het een eenvoudige en interessante uitkomst... Het is eens wat anders dan de typische dobbelsteenvraagjes (idem met de bokaal van R14 eigenlijk). De volgende lijkt me ook leuk...

R16

Eentje voor het slapengaan, aangepast aan de examenperiode.

Je volgt een of andere richting met hopen studenten (meer dan 365) en jullie hebben allemaal mondeling examen. De ouderwetse professor doet niet mee aan ingewikkelde tijdsschema's: iedereen is om 8u aanwezig en vormt een rij, een voor een naar binnen. Om de pijn van het wachten te verzachten, belooft hij het volgende: de eerste student die binnenkomt en verjaart op een dag die reeds de verjaardag was van een voorganger, krijgt direct 20/20. Stel dat je arrogant genoeg bent om eender waar in de rij te kruipen: op welke positie (hoeveelste in de rij) ga je dan best staan om je kans op 20 te maximaliseren?

Voor de wiskundige puristen horen hier een paar details bij om de vraag sluitend te maken: we negeren schrikkeljaren en je mag veronderstellen dat de verjaardagen uniform verdeeld zijn over de 365 dagen; bovendien ken je van niemand anders de verjaardag uiteraard - jullie zitten dus in een lekker sociaal jaar

Oeps, ik vergaloppeer me wat door zelf maar het ene na het andere raadseltje te plaatsen! Iemand anders mag natuurlijk overnemen, in het bijzonder zij die een raadsel deels of helemaal juist beantwoord hadden Dus wie inspiratie heeft...

Tom! zei:

Zo, R15 is opgelost. Ik vind dat een bijzonder elegant raadseltje omdat het zo eenvoudig is qua vraagstelling, enkel een basis kansrekening vergt maar toch niet triviaal is om op te lossen; bovendien heeft het een eenvoudige en interessante uitkomst... Het is eens wat anders dan de typische dobbelsteenvraagjes (idem met de bokaal van R14 eigenlijk). De volgende lijkt me ook leuk...

R16

Eentje voor het slapengaan, aangepast aan de examenperiode.

Je volgt een of andere richting met hopen studenten (meer dan 365) en jullie hebben allemaal mondeling examen. De ouderwetse professor doet niet mee aan ingewikkelde tijdsschema's: iedereen is om 8u aanwezig en vormt een rij, een voor een naar binnen. Om de pijn van het wachten te verzachten, belooft hij het volgende: de eerste student die binnenkomt en verjaart op een dag die reeds de verjaardag was van een voorganger, krijgt direct 20/20. Stel dat je arrogant genoeg bent om eender waar in de rij te kruipen: op welke positie (hoeveelste in de rij) ga je dan best staan om je kans op 20 te maximaliseren?

Voor de wiskundige puristen horen hier een paar details bij om de vraag sluitend te maken: we negeren schrikkeljaren en je mag veronderstellen dat de verjaardagen uniform verdeeld zijn over de 365 dagen; bovendien ken je van niemand anders de verjaardag uiteraard - jullie zitten dus in een lekker sociaal jaar

Klik om te vergroten...

Ale, nog ne laatste voor het slapengaan

Je krijgt 20/20 als je verjaardag samenvalt met een van de personen voor je EN indien onder hen nog geen verjaardagen samenvallen.
Wet van homeboy Bayes: P(A,B) = P(A|B).P(B)
Veronderstel dat ik op de n-de plaats ga staan. De kans is dan:
P = (n-1)/365 * (365/365 * 364/365 * 363/365 ... (n-1) keer).
Deze eerste factor is juist omdat de eerste n-1 verschillende verjaardagen moeten hebben.
Nu P nog maximaliseren. Je kan het herschrijven met 365^n en enorme faculteiten, maar dat rekent niet erg makkelijk (Wolfram alpha laat me in de steek daar ), dus een recursieve formule moet het maar doen:

P(n+1) = n/(n-1)* (365 - n +1)/365 * P.
en P(2) = 1/365.
dan is bv P(3) = 2/365*364/365 > P(2)
Deze kans blijft toenemen als functie van n zolang de factor n/(n-1)*(365 - n +1)/365 >1.
Een beetje herschrijven geeft: 365n - n^2 + n > 365n - 365
of n(n-1) < 365. Het blijkt eenvoudig dat dit voor n = 19 nog geldt, maar voor n = 20 niet meer, daarna begint te kans terug af te nemen. We kunnen dus best op de twintigste plaats gaan staan

Man man, wat een tijdverspilling die raadsels. Had al veel beter al in mene tram gekropen.
Maar om Tom! eens af te lossen een klassieke variant op de klassieker met de broers die liegen en waarheid spreken.

R17
Je bent in dromeland aan het wandelen en zoekt het dorp met de zachtste matrassen . Je komt op een splitsing waarbij een weg leid naar een kussenfabriek, en de andere naar een punaisefabriek. Er staan dit maal niet twee maar drie broers aan het kruispunt. In een vorig dorp (zonder leugenaars zullen we veronderstellen ), is je verteld dat een broer steeds de waarheid spreekt, een andere liegt steeds, maar de derde durft beiden wel eens te doen en is volkomen onvoorspelbaar. Dit maal krijg je echter de kans om twee vragen te stellen. Welke twee vragen leiden je tot het zandmannetje?

Succes :doc:

Tschijnt da ze heel goei bedden verkopen naast die punaisefabriek

Ik ging bij 16 schatten dat het ongeveer de 20ste plek ging zijn.

niet slecht geschat

Inderdaad, intuïtief gokken de meesten toch een stuk verder in de rij.

Hellrabbit zei:

Tschijnt da ze heel goei bedden verkopen naast die punaisefabriek

Klik om te vergroten...

Correct! :applause:

Ik ga niet meespelen want ik kende het raadseltje al (zij het niet met bedden en punaises ).


Nog over de oplossing van R16: 20 is inderdaad het juiste antwoord.
Werken met die recursieve formule is prima, je hebt dan immers:

P(n+1) = n/(n-1)*(365 - n +1)/365*P

Je zoekt nu eigenlijk de kleinste n zodat P > P(n+1), dus zodat P/P(n+1) > 1, dus:

P(n+1)/P = n/(n-1)*(365 - n +1)/365 => n/(n-1)*(365 - n +1)/365 < 1

Dit vereenvoudigt zich tot n²-n-365 > 0. Dit is een kwadratische ongelijkheid die je exact kan oplossen. Je vindt dan dat n onder een negatieve waarde moet liggen (verwerpen) of boven (1+sqrt(1461))/2 = 19.61... dus neem n = 20.

Lensos zei:

R17
Je bent in dromeland aan het wandelen en zoekt het dorp met de zachtste matrassen . Je komt op een splitsing waarbij een weg leid naar een kussenfabriek, en de andere naar een punaisefabriek. Er staan dit maal niet twee maar drie broers aan het kruispunt. In een vorig dorp (zonder leugenaars zullen we veronderstellen ), is je verteld dat een broer steeds de waarheid spreekt, een andere liegt steeds, maar de derde durft beiden wel eens te doen en is volkomen onvoorspelbaar. Dit maal krijg je echter de kans om twee vragen te stellen. Welke twee vragen leiden je tot het zandmannetje?

Succes :doc:

Klik om te vergroten...

oplossing? kan 'm nie vinde :/

Wat ik me afvraag: als je vraagt aan diegene die de waarheid spreekt wat diegene die onvoorspelbaar is gaat zeggen, dan moet die ik weet het niet antwoorden veronderstel ik. Maar kan de leugenaar dan ook zeggen over diegene die de waarheid spreekt dat hij het niet weet?

Waarschijnlijk is er een totaal andere benaderingswijze nodig, maar toch.

Oei, blijkbaar is er toch nog interesse...
De oplossing staat nu wel in de spoiler, en heb hieronder reeds een nieuw raadseltje gepost, maar veel plezier en succes aan diegenen die de vorige nog willen kraken.

Misschien een nieuwe, flauwere dan:
R18

Een junkie heeft 10 sigaretten in zijn zak. Bovendien kan hij van elke 3 peuken een nieuwe volwaardige sigaret maken. Hoeveel sigaretten kan hij roken

14..
Je kan alle tien eerst oproken --> 10
Van die tien heb je tien peuken, dus drie nieuwe sigaretten --> 13
Je hebt nu nog vier peuken, nog één sigaret erbij --> 14